Понятие равномерной непрерывности функции комплексной переменной

Лекция №6

Теорема о непрерывности сложной функции.

Теорема.

Если функции f(Z) и q(Z) непрерывны в точке Z₀, принадлежащей E, то функции f(Z)±q(Z) и f(Z)·q(Z) так же непрерывны в точке Z₀, если дополнительно известно, что q(Z₀) ≠ 0, то будет непрерывна и функция в точке Z₀. В самом деле .

Пусть функция W = f(Z), заданная на множестве E и непрерывна в точке Z₀, а функция ε = φ(W), заданная на множестве D, непрерывна в точке W₀=f(Z₀). Пусть значения функции W = f(Z) не выходят за пределы множества D, когда Z пробегает множество E, тогда сложная функция ε = φ [ f(Z) ], будет также непрерывна в точке Z₀.

Функция W = f(Z) называется равномерно непрерывной на множестве , если для любого , такое, что для любой пары точек Z₁ и Z₂, принадлежащих E, удовлетворяющих неравенству выполняется неравенство .

Каждая равномерно непрерывная в области E функция f(Z) является непрерывной в любой точке этой области. Однако не всякая непрерывная в области E функция является равномерно непрерывной функцией. Справедлива теорема.

Дата добавления: 2015-06-26