Отображение областей ограниченных прямыми или окружностями

Пример.

, тогда вместо , .

Инвариантность двойного отношения при дробно-линейном преобразовании.

Рассмотрим четыре различные точки a, b, c, d, тогда двойное отношение называется двойным или ангарническим отношением.

В случае, когда одно из этих чисел a, b, c, d обращается в , разности отношения, в котором участвует эта заменяется на 1. Двойное отношение обозначают символом (a, b, c, d).

Рассмотрим четыре произвольных числа a, b, c, d и какое-нибудь дробно-линейное отображение , переводящее их соответственно в числа A, B, C, D. Так как a, b, d L переводит в A, B, D, то оно имеет вид:

.

Так как W = h(z) переводит c в C, то будет выполняться равенство:

,

т. е. (A,B,C,D)=(a,b,c,d).

Итак, всякая дробно-линейная функция составляет инвариантное двойное отношение комплексных чисел.

Теорема.

Если каждая из линий γ и Г является прямой или окружностью, а тройки z₁, z₂, z₃, и тройки W₁, W₂, W₃ состоящие из попарно различных точек принадлежит соответственно линиям γ и Г, то существует дробно-линейная функция W = h(z), отображающая γ на Г и, такая что, выполняется равенство h(z_k) = W_k (k = 1,2,3).

Дата добавления: 2015-06-26