Доказательство

Пример.

Доказательство

Очевидно, Z₁+Z₂=(x₁+x₂)+i·(y₁+y₂). Поэтому по определению показательной функции будет:

(4)

и

(5)

Так как правые части равенства (4) и (5) одинаковы, то и их левый части тоже равны, т. е. выполняется равенство .

Записать в показательной форме комплексное число.

Следовательно,

Множество комплексных чисел обозначаются буквой C.

Показательная функция W = e^Z является периодической функцией периода T=2π∙i, причем этот период является основным, т. е. любой другой период W кратен этому периоду T: W = kT (k \ ).

Покажем вначале, что число T = 2π∙i является периодом функции e^Z, т. е. что для Z выполняется равенство e^Z+2πi = e^Z. В силу теоремы сложения имеем:

Следовательно, число T = 2πi период функции e^Z.

Покажем теперь, что это основной ее период. Возьмем произвольный период W = функции e^Z. Будем иметь в виду, что для Z выполняется равенство: e^Z+w = e^Z. В частности, при Z = 0 получаем e^w = 1, т. е.

Следовательно, модули левой и правой части будут равны и следовательно . Получаем, что cosβ+isinβ = 1, т. е. cosβ = 1, sinβ = 0. Это возможно лишь в случае, когда , окончательно получаем, что . Значит, 2πi – основной период функции.

Дата добавления: 2015-06-26