![]() КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Замечания
1. Выражение exp( ∞ ) лишено смысла, т.к. 2. expZ не совпадает ни с одним многочленом, так как всякий многочлен не равный постоянной, стремится к бесконечности при Z → ∞ Pn = a0+a1Z+…+anZn Целые функции отличные от многочленов называются трансцендентными, следовательно, экспонента Z (expZ) есть трансцендентная целая функция. Возьмем плоскость (Z) и систему координат По первому свойству показательной функции, показательная функция нигде в нуль не обращается, т. е. W = 0 не принимает этой функции не при каком Z. Следовательно, образом плоскости Z при отображении W = eZ является плоскость (W). Покажем, что всякая другая точка плоскости (W) является образом. Дано отображение: W = expZ, где Z = x+i·y. По 1. Итак, прообразом точки W будет точка Z: Покажем, что любая k из найденных Z является прообразом W. Итак, Итак, мы получим, что expZ = W, следовательно, каждая из найденных Z есть прообраз точек W. Множество всех корней уравнения W = eZ (W ≠ 0) представляется формулой:
Так как ArgW имеет бесконечное множество значений, различающихся попарно на целые ограниченные 2π, то точек Z бесконечно много. Следовательно, отображение W = expZ не взаимно однозначно, т. к. Так как производная показательной функции всюду отлична от нуля, то отображение W = eZ конформное, то во всех точках плоскости (Z). Заставим Z описывать некоторую прямую, на пример, параллельную. Что является образом прямой параллельной мнимой оси при отображении W = eZ? Уравнение этой прямой Z = c+i·t, тогда W = eZ = ec+it = ec·(cost+isint), таким образом, этой прямой будет окружность радиуса ec c центром вначале координат. При этом, когда точка Z описывает прямую так что ордината этой точки равна t непрерывно растет от – ∞ до +∞, то W описывает соответствующую окружность бесконечно много раз в одном и том же направлении (положение против часовой стрелки). Пусть теперь точка Z описывает прямую, параллельную действительной оси. Что является образом прямой параллельной действительной оси при отображении W = eZ? Заменим уравнение этой прямой Z = t+i·c', тогда W=eZ=et+i·c'=et·(cos c' +I sin c'). Итак, образом прямой, параллельной действительной, оси будет являться луч, выходящий из начала координат и образующий с положительной частью действительной оси и угол c'. При этом, когда Z описывает прямую так, что абсцисса этой точки равная t, непрерывно растет от - ∞ до + ∞, то и W описывает соответствующий луч так, что расположение этой точки от начала координат непрерывно растет от 0 до ∞ (0 исключается). Теорема. При отображении W = eZ плоскости (Z) семейство прямых параллельных мнимой оси преобразуется в семейство окружностей с центром в начале координат, а семейство прямых параллельных действительной оси в – семейство прямолинейных лучей, выходящих из начала координат. Рассмотрим область g, представляющую собой внутренность прямолинейной полосы, параллельной действительной оси, шириной h ( Что является образом этой полосы при отображении W = eZ? Образом прямой y=φ0 будет луч. Итак, образом области g, входящей в (Z), будет область d, представляющая угол раствора h с вершиной в начале координат, ограниченной прямолинейными лучами. При этом соответствии между точками областей g и d, устанавливаемым функцией W = eZ, отображение будет взаимно однозначным. Действительно, прообразом некоторой точки W
различающиеся друг от друга значениями мнимой части. Две такие точки лежат на прямой параллельной мнимой оси на расстоянии кратном 2π, но наша полоса g имеет ширину не более 2π, поэтому она может содержать внутри лишь один прообраз точки W. Итак, показательная функция W = eZ, взаимно однозначно отображает полосу ширины
Дата добавления: 2015-06-26; Просмотров: 435; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |