Теорема. Дифференцирование степенных рядов

Дифференцирование степенных рядов

Пример.

Доказательство.

Теорема Абеля

Если степенной ряд (1) сходится в некоторой точке , то абсолютно сходится в любой точке круга |Z - Z₀| < |Z₁ - Z₀|.

Т. к. ряд (1) сходится в точке Z₁, то эта точка Z₁ не лежит во внешности круга сходимости. Поэтому эта точка Z₁ либо лежит внутри круга сходимости, либо на его границе. Но тогда круг |Z-Z₀| < |Z₁-Z₀| будет целиком содержаться в круге сходимости степенного ряда |Z-Z₀| < R (т.к. |Z-Z₀| R) и потому ряд (1) во всех точках, рассматриваемого круга, абсолютно сходится.

Найти радиус и круга сходимости степенного ряда.

Очевидно, c_n = 5ⁿ+n

Поэтому

Кругом сходимости будет

Пусть линейный ряд (1) имеет положительный радиус сходимости R > 0, тогда сумма ряда (1) f(Z) имеет производную в любой точки R круга сходимости |Z-Z₀| < R. Причем эта производная равна

(2).

Дата добавления: 2015-06-26