Логарифм по произвольному основанию

Общая степенная и показательная функция

Пример.

Найти совокупность iⁱ.

iⁱ = e^ilni ()

т. к. lni = ln|i|+i∙Argi = 0+i·(), то iⁱ = = ^.

Для произвольного комплексного α степенная функция (это, вообще говоря, бесконечно-значная функция).

Показательная функция а^Z = e^Zlna (a ≠ 0), эта функция также является бесконечно-значной (когда а = е, то берется одно главное значение lna = lne).

Это однозначная функция, по нашему определению многозначная.

Для комплексных степеней, вообще говоря, не выполняются равенства:

и .

Возьмем и определим логарифмы по основанию a. С этой целью рассмотрим уравнение Z = a^w, относительно неизвестной W.

По определению a^w = e^wlna.

lna имеет бесконечное множество значений, зафиксируем какое-то одно из них и обозначим его через b. Тогда мы получим равенство:

Т.е.

В правой части комплексный числитель, тогда и знаменатель, имеют бесконечное множество значений.

Дата добавления: 2015-06-26