Методика вычисления коэффициентов уравнения регрессии с помощью матричной алгебры

Для решения системы дифференциальных уравнений, приведенной в предыдущем параграфе, с помощью матричной алгебры необходимо:

- представить полученные в результате опыта данные в следующем виде:

x _i = y_i - [q ₀f₀(x_i) + q ₁f₁(x_i) +... + q _mf_m(x_i)], i = 1,..., s, (1.15)

где s - число опытов в эксперименте;

- ввести и определить конструктивную (структурную) матрицу:

- ввести и определить транспонированную матрицу параметров:

q' = (q ₀, q ₁,..., q _m);

- ввести и определить матрицу-столбец значений y_i, i=1,...,s:

- представить систему (1.15) и функцию z в матричной форме:

(последнее уравнение получено с учетом того, что

- продифференцировать последнее выражение функции z по каждому параметру q _i , в результате чего будет получена следующая система уравнений:

- решить данную систему, выполняя следующие действия:

Для получения решения q ^{^} необходимо, чтобы строки матрицы A' были линейно зависимы. Если при решении данной задачи использовать для представления уравнения регрессии формулу

то вместо выражения f_j(x_i) можно использовать выражение X^Kj , при этом вычисления могут быть существенно упрощены.

Пример. Пусть некоторый показатель исследуемого процесса представляет собой случайную величину Y = F(x₁, x₂, x₃). Тогда функция регрессии h (C _i,Q), представляющая собой математическое ожидание E{y_i}, i = 1,...,s, можно представить в вид полинома

h (C _i,Q) = q ₀ + q ₁x₁ + q ₂x₂ + q ₃x₃ + q ₄x₁x₂ + q ₅x₁x₃ + q ₆x₂x₃ + q ₇x₁x₂x₃ .

При этом заглавная строка структурной матрицы A будет иметь следующий вид:

x₀ , x₁, x₂, x₃, x₁x₂, x₁x₃ x₂x₃ x₁x₂x_3,

а сама матрица A, представляющая собой план проведения эксперимента, приобретает следующий вид: Таблица 1.1

Данная таблица обладает следующими свойствами:

- добавлена фиктивная переменная x₀ для приведения свободного коэффициента q ₀ к общему виду;

- значения переменных x_j, jI {0, 1, 2, 3} определены на множестве {-1, +1}, где -1 замещает наименьшее, а +1 - наибольшее значение переменной x_j из области допустимых ее значений;

- комбинации значений независимых переменных x₁, x₂, x₃ в данном случае представлены всеми возможными элементами декартового произведения {-1, +1}? {-1, +1}? {-1, +1}, которое называется полным или насыщенным планом эксперимента;

- значения таблицы, представляющие нелинейные члены полинома h (C _i,Q), получаются в результате перемножения значений переменных x₁, x₂, x₃ в соответствующих столбцах таблицы;

- число строк s матрицы А соответствует наименьшему количеству опытов, необходимому для вычисления коэффициентов q (в данном примере s = 2³, что соответствует количеству искомых параметров q _j);

- матрица А должна обладать следующими свойствами:

симметричности - j = 1,2,...,7,

нормализованности -

ортогональности - eÎ{1,...,7}, e¹j, x_j,i - функция из заглавной строки таблицы 1.1, представляющая собой комбинацию переменных x₁,x₂,x₃. При наличии перечисленных свойств матрицы А коэффициенты q _j определяются по формуле а дисперсия этих параметров - по формуле s ² {q _j} = s ² {y_i} / s. Приведенная методика годится для оценки параметров любой многофакторной функции h (C _i,Q). Классическим примером применения метода максимального правдоподобия является задача определения (уточнения) параметров орбиты космического аппарата [8].

Примечание. Использование вычислительной процедуры, реализующей метод наименьших квадратов с целью получения оценок коэффициентов модели, которые удовлетворяли бы условиям несмещенности, состоятельности и эффективности, предполагает выполнение следующих условий [9]:

* независимые переменные представляют собой неслучайный набор чисел таких, что их среднее значение и дисперсия конечны,

* случайные ошибки x _i имеют нулевую среднюю и конечную дисперсию

* между независимыми переменными отсутствует корреляция и автокорреляция,

* случайная ошибка не коррелированна с независимыми переменными,

* случайная ошибка подчинена нормальному закону распределения,

* зависимость между входными (независимыми) переменными и выходными (зависимыми) линейна.

Дата добавления: 2015-06-04