Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Методика вычисления коэффициентов уравнения регрессии с помощью матричной алгебры




Для решения системы дифференциальных уравнений, приведенной в предыдущем параграфе, с помощью матричной алгебры необходимо:

- представить полученные в результате опыта данные в следующем виде:

x i = yi - [q 0f0(xi) + q 1f1(xi) +... + q mfm(xi)], i = 1,..., s, (1.15)

где s - число опытов в эксперименте;

- ввести и определить конструктивную (структурную) матрицу:

- ввести и определить транспонированную матрицу параметров:

q' = (q 0, q 1,..., q m);

- ввести и определить матрицу-столбец значений yi, i=1,...,s:

- представить систему (1.15) и функцию z в матричной форме:

(последнее уравнение получено с учетом того, что

- продифференцировать последнее выражение функции z по каждому параметру q i , в результате чего будет получена следующая система уравнений:

- решить данную систему, выполняя следующие действия:

Для получения решения q ^ необходимо, чтобы строки матрицы A' были линейно зависимы. Если при решении данной задачи использовать для представления уравнения регрессии формулу

то вместо выражения fj(xi) можно использовать выражение XKj , при этом вычисления могут быть существенно упрощены.

Пример. Пусть некоторый показатель исследуемого процесса представляет собой случайную величину Y = F(x1, x2, x3). Тогда функция регрессии h (C i,Q), представляющая собой математическое ожидание E{yi}, i = 1,...,s, можно представить в вид полинома

h (C i,Q) = q 0 + q 1x1 + q 2x2 + q 3x3 + q 4x1x2 + q 5x1x3 + q 6x2x3 + q 7x1x2x3 .

При этом заглавная строка структурной матрицы A будет иметь следующий вид:

x0 , x1, x2, x3, x1x2, x1x3 x2x3 x1x2x3,

а сама матрица A, представляющая собой план проведения эксперимента, приобретает следующий вид: Таблица 1.1

Данная таблица обладает следующими свойствами:

- добавлена фиктивная переменная x0 для приведения свободного коэффициента q 0 к общему виду;

- значения переменных xj, jI {0, 1, 2, 3} определены на множестве {-1, +1}, где -1 замещает наименьшее, а +1 - наибольшее значение переменной xj из области допустимых ее значений;

- комбинации значений независимых переменных x1, x2, x3 в данном случае представлены всеми возможными элементами декартового произведения {-1, +1}? {-1, +1}? {-1, +1}, которое называется полным или насыщенным планом эксперимента;

- значения таблицы, представляющие нелинейные члены полинома h (C i,Q), получаются в результате перемножения значений переменных x1, x2, x3 в соответствующих столбцах таблицы;

- число строк s матрицы А соответствует наименьшему количеству опытов, необходимому для вычисления коэффициентов q (в данном примере s = 23, что соответствует количеству искомых параметров q j);

- матрица А должна обладать следующими свойствами:

симметричности - j = 1,2,...,7,

нормализованности -

ортогональности - eÎ{1,...,7}, e¹j, xj,i - функция из заглавной строки таблицы 1.1, представляющая собой комбинацию переменных x1,x2,x3. При наличии перечисленных свойств матрицы А коэффициенты q j определяются по формуле а дисперсия этих параметров - по формуле s 2 {q j} = s 2 {yi} / s. Приведенная методика годится для оценки параметров любой многофакторной функции h (C i,Q). Классическим примером применения метода максимального правдоподобия является задача определения (уточнения) параметров орбиты космического аппарата [8].

Примечание. Использование вычислительной процедуры, реализующей метод наименьших квадратов с целью получения оценок коэффициентов модели, которые удовлетворяли бы условиям несмещенности, состоятельности и эффективности, предполагает выполнение следующих условий [9]:

* независимые переменные представляют собой неслучайный набор чисел таких, что их среднее значение и дисперсия конечны,

* случайные ошибки x i имеют нулевую среднюю и конечную дисперсию

* между независимыми переменными отсутствует корреляция и автокорреляция,

* случайная ошибка не коррелированна с независимыми переменными,

* случайная ошибка подчинена нормальному закону распределения,

* зависимость между входными (независимыми) переменными и выходными (зависимыми) линейна.




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2015-06-04; Просмотров: 455; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.011 сек.