Уравнение плоской электромагнитной волны

Уравнениям Максвелла в интегральной форме, приведенным в § 20.2, с помощью известных теорем векторного анализа (теорем Стокса и Остроградского-Гаусса) можно придать дифференциальную форму (см. приложение 5):

(24.1)

В координатной форме уравнения Максвелла (24.1) имеют вид

(24.2)

Рассмотрим случай неограниченной однородной среды, представляющей собой диэлектрик, в котором отсутствуют электрические заряды. Для такой среды и r = 0. Кроме того, будем предполагать, что векторные характеристики электромагнитного поля (и соответственно и ) зависят только от координаты x. Тогда система уравнений (24.2) принимает вид

(24.3)

Из уравнений (a), (d), (g) и (h) следует, что x-компоненты электромагнитного поля Bx и Dt не зависят от x и t, т.е. Bx(x,t)=const, Dx(x,t)=const.

Оставшиеся четыре уравнения распадаются на две независимых системы уравнений. В одну из них входят y-компоненты электрического поля и z-компоненты магнитного поля, а в другую — z-составляющие электрического и y-составляющие магнитного поля:

	(24.4)
	(24.5)

Эти системы уравнений однотипны, поэтому ограничимся рассмотрением одной из них — системы уравнений (24.4).

Учитывая, что D=e₀eE, а B=m₀mH, перепишем систему уравнений (24.4) в виде

;	(24.6)
.	(24.7)

Теперь, чтобы найти зависимость изменений электрического поля в пространстве от его же изменений во времени, продифференцируем (24.6) и (24.7) соответственно по координате и времени:

;	(24.8)
.	(24.9)

Смешанные производные равны, т.е. , поэтому из (24.8) и (24.9) легко получить

.

(24.10)

Последнее уравнение и представляет собой уравнение плоской электромагнитной волны. Аналогичное уравнение можно получить и для магнитной составляющей

.

Сравнивая (24.10) с (22.5), можно установить, что скорость электромагнитной волны определяется выражением

.

(24.11)

Сомножитель — это скорость распространения электромагнитных волн в вакууме:

м/с.

Таким образом, скорость распространения электромагнитных волн в вакууме совпадает со скоростью света. В среде скорость распространения электромагнитных волн уменьшается:

.

(24.12)

Поскольку у большинства веществ (кроме ферромагнетиков) m» 1, то с большой степенью точности можно записать

.

(24.13)

Электромагнитные волны являются поперечными: векторы напряженности электрического (E) и магнитного (H) полей, а также направление скорости распространения электромагнитной волны образуют тройку взаимно перпендикулярных векторов (рис. 24.1). Заметим, что колебания электрического и магнитного полей в бегущей электромагнитной волне происходят в одинаковой фазе.

Рис. 24.1

24.2. Вектор Умова – Пойнтинга

При распространении электромагнитных вол происходит перенос энергии. Количественной характеристикой такого переноса служит вектор плотности потока энергии, который применительно к электромагнитным волнам называется вектором Умова-Пойнтинга.

В электромагнитной волне необходимо учитывать энергию электрического и магнитного полей, поэтому плотность энергии волны

.

(24.14)

Средние значения энергии электрического и магнитного полей равны:

.

Отсюда

.

(24.15)

С учетом (24.15) выражение для плотности энергии электромагнитной волны (24.14) можно преобразовать к виду

;

.

(24.16)

Подставив (24.16) в выражение для плотности потока энергии (22.9), получим

или в векторной форме

.

(24.17)

С учетом (24.11) выражение (24.17) можно записать в виде

.

(24.18)

Последнее выражение и представляет собой вектор Умова-Пойнтинга.

Дата добавления: 2015-06-04