Строится простая (парная) регрессия в случае, когда среди факторов, влияющих на результативный показатель, есть явно доминирующий фактор. 1 страница

Слово “эконометрика” – соединение 2-х слов – экономика (наука об экон. системах), метрика (наука об измерениях). Со временем, требовалось оценить точно возникающие связи между экономическими объектами (труд. ресурсами, ср. возраст рабочего, уровень безработицы, з/пл и т.д.) т.к. эти понятия носят как правило случайный характер, то без таких понятий как регрессия, корреляция, эконометрическая модель, временной ряд не обойтись. Обычно, те объекты, которые носят независимый характер, в экономике называют фактор признаками.

Эконометрика – это наука о применении статистических и математических методов в экономическом анализе для проверки правильности экономических теоретических моделей и способов решения экономических проблем.

Эконометрика как наука расположена где–то между экономикой, статистикой и математикой, но ни одно из этих наук неспособна в отдельности, заменить эконометрику.

Эконометрические методы основаны на анализе связей между различными экономическими показателями (факторами) на основании статистических данных с использованием аппарата теории вероятностей и математической статистики. При помощи этих методов можно выявлять новые, ранее не известные связи, уточнять или отвергать гипотезы о существовании определенных связей между экономическими показателями, предлагаемые экономической теорией.

К основным задачам эконометрики можно отнести следующие:

- построение эконометрических моделей, то есть представление экономических моделей в математической форме. Данную проблему принято называть проблемой спецификации.

- оценка параметров построенной модели. Это этап параметризации.

- проверка качества найденных параметров модели и самой модели в целом. Иногда этот этап называют верификаций.

- использование построенных моделей для объяснения поведения исследуемых экономических показателей, прогнозирования и предсказания.

Эконометрический метод складывался в преодолении следующих неприятностей, искажающих результаты применения классичес­ких статистических методов:

• асимметричности связей;

• мультиколлинеарности объясняющих переменных;

• закрытости механизма связи между переменными в изолиро­ванной регрессии;

• эффекта гетероскедастичности, т. е. отсутствия нормального распределения остатков для регрессионной функции;

• автокорреляции;

• ложной корреляции;

• наличия лагов.

Эконометрическое исследование включает решение следующих проблем:

• качественный анализ связей экономических переменных -выделение зависимых и независимых переменных;

• подбор данных;

• спецификация формы связи между у и х,

• оценка параметров модели;

• проверка ряда гипотез о свойствах распределения вероятнос­тей для случайной компоненты (гипотезы о средней, диспер­сии и ковариации);

• анализ мультиколлинеарности объясняющих переменных, оценка ее статистической значимости, выявление перемен­ных, ответственных за мультиколлинеарность;

• введение фиктивных переменных;

• выявление автокорреляции лагов;

• выявление тренда, циклической и случайной компонент;

• проверка остатков на гетероскедастичность;

• проверка условия идентификации;

• проблемы идентификации и оценивания параметров.

2. Основные виды эконометрических моделей

Виды моделей подразделяются в зависимости от со­ответствующей теории связи между переменными. В урав­нении регрессии корреляционная по сути связь признаков представляется в виде функциональной связи, выраженной соответствующей математической функцией.

где y_j — фактическое значение результативного признака;

y_xj -теоретическое значение результативного признака.

— случайная величина, характеризующая отклонения реального значения результативного признака от теоретического.

Случайная величина ε называется также возмущением. Она включает влияние не учтенных в модели факторов, случайных ошибок и особенностей измерения.

От правильно выбранной спецификации модели за­висит величина случайных ошибок: они тем меньше, чем в боль­шей мере теоретические значения результативного признака подходят к фактическим данным у.

В парной регрессии выбор вида математической функции может быть осуществлен тремя методами: графическим, аналитическим и экспериментальным.

Графи­ческий метод основан на поле корреляции. Аналитический метод основан на изучении материальной природы связи исследуемых признаков.

Экспериментальный метод осуществляется путем сравнения величины остаточной дисперсии D_ост, рассчитанной при разных моделях. Если фактические значения результативного признака совпадают с теоретическими у = , то D_ocm =0. Если имеют место отклонения фактических данных от теоретических (у — ) то . (2.2)

Чем меньше величина остаточной дисперсии, тем лучше уравнение регрессии подходит к исходным данным. Число наблюдений должно в 6 — 7 раз превышать число рассчитывае­мых параметров при переменной х.

Пусть, например, мы имеем данные о размерах располагаемого дохода (disposable personal income) DPI и расходов на личное потребление (personal consumption) C для семейных хозяйств, так что и , соответственно, представляют располагаемый доход и расходы на личное потребление -го семейного хозяйства.

Простейшей моделью связи между и является линейная модель связи. Если разместить на плоскости в прямоугольной системе координат точки с абсциссами и ординатами (такое расположение точек называется диаграммой рассеяния - scatterplot), то, как правило, эти точки вовсе не будут лежать на одной прямой вида соответствующей линейной модели связи. Вместо этого, они будут образовывать облако рассеяния, вытянутое в некотором направлении. В таком случае соотношение между и принимает форму

(2.3)

(модель наблюдений), где слагаемое

(2.4)

представляет отклонение реально наблюдаемых расходов на потребление от значения предсказываемого гипотетической линейной моделью связи для -го семейного хозяйства. Эти отклонения отражают совокупное влияние на конкретные значения множества дополнительных факторов, не учитываемых принятой моделью связи.

Предложив для описания имеющихся статистических данных модель, учитывающую указанные отклонения от теоретической модели линейной связи между и (модель наблюдений), исследователи сталкиваются с вопросом о том, каковы значения и в этой модели.

3. Эконометрическое моделирование

В эконометрических исследованных существенным является использование моделей. Процесс построения моделей называется эконометрическим моделированием. Модели должны быть “настолько простыми, насколько возможно, но не проще”, сказал Эйнштейн.

Рассмотрим пример.

Пусть необходимо проанализировать зависимость спроса Q на некоторый товар от цены P на этот товар. На основе экономической теории известно, что с ростом цены объем спроса сокращается. Опираясь на это утверждение можно предложить несколько математических зависимостей, отражающих этот факт. Например,

Необходимо отметить, что любая из моделей будет лишь упрощением реальности и всегда содержит определенную погрешность. Поэтому из всех предлагаемых моделей с помощью статистических методов отбирается та, которая в наибольшей степени соответствует реальным эмпирическим данным и характеру зависимости.

Далее идет этап параметризации, то есть оценка параметров (в нашем случае α и β) так как эта оценка осуществляется на основе имеющихся статистических данных, то вопрос точности (качества) статистической информации является одним из ключевых при построении модели.

Затем проверяется качество найденных оценок, а также соответствие модели эмпирическим данным и теоретическим предпосылкам (этап верификации). Данный анализ в основном осуществляется по схеме проверки статистических гипотез. На этом этапе совершенствуется не только форма модели, но и уточняется состав ее объясняющих переменных (возможно спрос на товар определяется не только его ценой, но и другими факторами, например, располагаемым доходом).

Если модель удовлетворяет требованиям качества, то она может быть использована для прогнозирования, либо для анализа внутреннего механизма исследуемых процессов.

Математические модели широко применяются в бизнесе, экономике, общественных науках, исследовании экономической активности.

Математические модели позволяют более полно исследовать и понимать сущность происходящих процессов, анализировать их.

В эконометрических исследованиях используют разные типы моделей. Но можно выделить три основных класса моделей, которые применяются в эконометрике: модели временных рядов, регрессионные модели (с одним уравнением) и системы одновременных уравнений.

Кроме этого используют также и другие типы кривых, например:

4. Классификация видов эконометрических переменных и типов данных

В эконометрических исследованиях используют два типа данных: пространственные данные (cross – sectional data) и временные ряды (time – seriesdata).

Пространственные данные – это данные, по какому- либо экономическому показателю, полученные для разных однотипных объектов (фирм, компаний, регионов).

Временные ряды – это данные, характеризующие один и тот же объект, но в различные моменты времени.

Примерами пространственных данных являются, например, площадь Саратовской области, количество промышленных предприятий на этой территории, средний уровень зарплаты по разным городам в определенный период времени.

Примерами временных рядов могут быть, например, ежегодные финансовые отчеты предприятия в налоговую инспекцию, ежемесячные отчеты о проделанной работе в деканате ВУЗа.

Например: х₁ – время обучения, х₂ – длительность и насыщенность занятий, х₃ – количество занятий – это все независимые переменные – экзогенные переменные (фактор признаки).

Аналогично, у₁ – уровень знаний выпускника, у₂ – цена обучения, у₃ – срок окупаемости затрат, у₄ – инвестиции в образование – зависимые переменные – эндогенные переменные (результативные признаки).

Не всегда затраты ведут к максимизации прибыли. Чтобы написать ту или иную зависимость применяют уравнение регрессии.

Уравнение регрессии – уравнение, связывающее между собой фактор признаки и результативные признаки. Уравнение регрессии бывают линейные и нелинейные. Сама регрессия бывает парная (зависимость между 1-им фактор признаком и результатом) и множественная.

y = y(x) (4.1) (значение между 1-им факторным признаком и результатом)

y = a + bx (4.2) (парная линейная регрессия, т.к. х и у участвуют в 1-ой степени, а и b – параметры регрессии имеющие экономический смысл).

Чтобы учесть возникающие помехи (погрешности в уравнении (4.2)) обычно пишут: у = a + bx + e, где e – искажение модели, учитывающее ряд других фактор признаков не явно участвующих в процессе.

Существуют и другого вида регрессии:

1) Линейные – по фактор признаку.

2) Нелинейные – по параметрам.

Например: (регрессия линейная, а и b под зн. log)

Однако, часть нелинейных регрессий легко сводится к лин. регрессиям:

Например: y = Ax + B, где

Однако, сущ. ур-ия регрессии не сводящиеся никаким способом к линейным.

Например: (здесь регрессия нелинейная по фактор признаку х и по параметрам а и b)

Теория корреляции учитывает тесноту связи между признаками х и у.

Основными характеристиками служат:

линейный коэффициент парной корреляции;

средняя ошибка аппроксимации модели

5. Общая модель парной регрессии. Методы определения регрессионной модели

В зависимости от количества факторов, включенных в уравнение регрессии, принято различать простую (парную) и множественную регрессии.

Простая регрессия представляет собой регрессию между двумя переменными y и x, т.е. модель вида:

y = f(x), (5.1)

где у – зависимая переменная (результативный признак); х – независимая, или объясняющая, переменная, (признак – фактор).

В парной регрессии выбор вида математической функции y_х=f(x), может быть осуществлен графическим, аналитическим, экспериментальным методами.

Наиболее наглядным методом определения регрессионной модели является графический. Он основан на поле корреляции, которое строится в прямолинейной системе координат.

Значительный интерес представляет аналитический метод выбора типа уравнения регрессии, который основан на изучении материальной природы связи исследуемых признаков.

Пусть, например, изучается потребность предприятия в электроэнергии y в зависимости от объема выпускаемой продукции x.

Общее потребление электроэнергии y можно подразделить на две части:

- не связанное с производством продукции а;

1. Часто встречаются факторы, которых следовало бы включить в регрессионное уравнение, но невозможно этого сделать в силу их количественной неизмеримости. Возможно, что существуют также и другие факторы, которые оказывают такое слабое влияние, что их в отдельности не целесообразно учитывать, а совокупное их влияние может быть уже существенным. Кроме того, могут быть факторы, которые являются существенными, но которые из-за отсутствия опыта таковыми не считаются. Совокупность всех этих составляющих и обозначено в (5.1) через ε.

2. Агрегирование переменных. Рассматриваемая зависимость (5.1) – это попытка объединить вместе некоторое число микроэкономических соотношений. Так как отдельные соотношения, имеют разные параметры, попытка объединить их является аппроксимацией. Наблюдаемое расхождение приписывается наличию случайного члена ε.

3. Выборочный характер исходных данных. Поскольку исследователи чаще всего имеет дело с выборочными данными при установлении связи между у и х, то возможны ошибки и в силу неоднородности данных в исходной статистической совокупности. Для получения хорошего результата обычно исключают из совокупности наблюдения с аномальными значениями исследуемых признаков. И в этом случае результаты регрессии представляют собой выборочные характеристики.

4. Неправильная функциональная спецификация. Функциональное соотношение между у и х математически может быть определено неправильно. Например, истинная зависимость может не являться линейной, а быть более сложной. Следует стремиться избегать возникновения этой проблемы, используя подходящую математическую формулу, но любая формула является лишь приближением истинной связи у и х и существующее расхождение вносит вклад в остаточный член.

6. Нормальная линейная модель парной регрессии

Линейная регрессия сводится к нахождению уравнения вида или . (6.1)

Уравнение вида позволяет по заданным значениям фактора x иметь теоретические значения результативного признака, подставляя в него фактические значения фактора х.

Построение линейной регрессии сводится к оценке ее пара­метров а и в.

Оценки параметров линейной регрессии могут быть найдены разными методами.

1. (6.2)

2. (6.3)

Параметр b называется коэффициентом регрессии. Его вели­чина показывает среднее изменение результата с изменением фактора на одну единицу.

Формально а — значение у при х = 0. Если признак-фактор
не имеет и не может иметь нулевого значения, то вышеуказанная
трактовка свободного члена, а не имеет смысла. Параметр, а может
не иметь экономического содержания. Попытки экономически
интерпретировать параметр, а могут привести к абсурду, особенно при а < 0.

Интерпретировать можно лишь знак при параметре а. Если а > 0, то относительное изменение результата происходит медленнее, чем изменение фактора.

Уравнение регрессии всегда дополняется показателем тесноты связи. При использовании линейной регрессии в качестве такого показателя выступает линейный коэффициент корреляции r_xy. Существуют разные модификации формулы линейного коэф­фициента корреляции.

(6.4)

Линейный коэффициент корреляции находится и границах: -1≤.r_xy ≤ 1. При этом чем ближе r к 0 тем слабее корреляция и наоборот чем ближе r к 1 или -1, тем сильнее корреляция, т.е. зависимость х и у близка к линейной. Если r в точности =1или -1 все точки лежат на одной прямой. Если коэф. регрессии b>0 то 0 ≤.r_xy ≤ 1 и наоборот при b<0 -1≤.r_xy ≤0. Коэф. корреляции отражает степени линейной зависимости м/у величинами при наличии ярко выраженной зависимости др. вида.

Для оценки качества подбора линейной функции рассчитывается квадрат линейного коэффициента корреляции , называемый коэффициентом детерминации. Коэффициент детермина­ции характеризует долю дисперсии результативного признака y, объясняемую регрессией. Соответствующая величина характеризует долю дисперсии у, вызванную влиянием остальных не учтенных в модели факторов.

7. Оценивание неизвестных коэффициентов модели парной регрессии

Оценивание неизвестных коэффициентов модели парной регрессии. происходит следующими методами:

- метод наименьших квадратов (МНК);

- метод максимального правдоподобия.

Для оценки неизвестных коэффициентов модели парной регрессии составляют функцию правдоподобия, равную произведению плотностей вероятности отдельных наблюдений. при этом все σ _t будем считать независимыми:

(7.1)

(7.2)

где р обозначает плотность вероятности, зависящую от Х_t У_t, и параметров а, b,σ².

Отметим, что оценки неизвестных параметров а, b совпадают с оценками метода наименьших квадратов

, . Оценка максимального правдоподобия для σ² не совпадает с которая, является несмещенной оценкой дисперсии ошибок. Таким образом, (7.6) состоятельной оценкой σ².

На оценивание неизвестных коэффициентов существенное значение оказывает случайная величина, которая называется называется также возмущением. Она включает влияние не учтенных в модели факторов, случайных ошибок и особенностей измерения.

Причин существования случайной составляющей несколько.

1. Не включение объясняющих переменных. Соотношение между y и x является упрощением. В действительности существуют и другие факторы, влияющие на y, которые не учтены в (2.1). Влияние этих факторов приводит к тому, что наблюдаемые точки лежат вне прямой у = а+bх.

Часто встречаются факторы, которых следовало бы включить в регрессионное уравнение, но невозможно этого сделать в силу их количественной неизмеримости. Возможно, что существуют также и другие факторы, которые оказывают такое слабое влияние, что их в отдельности не целесообразно учитывать, а совокупное их влияние может быть уже существенным. Кроме того, могут быть факторы, которые являются существенными, но которые из-за отсутствия опыта таковыми не считаются. Совокупность всех этих составляющих и обозначено в (2.1) через ε.

2. Агрегирование переменных. Рассматриваемая зависимость (2.1) – это попытка объединить вместе некоторое число микроэкономических соотношений. Так как отдельные соотношения, имеют разные параметры, попытка объединить их является аппроксимацией. Наблюдаемое расхождение приписывается наличию случайного члена ε.

3. Выборочный характер исходных данных. Поскольку исследователи чаще всего имеет дело с выборочными данными при установлении связи между у и х, то возможны ошибки и в силу неоднородности данных в исходной статистической совокупности. Для получения хорошего результата обычно исключают из совокупности наблюдения с аномальными значениями исследуемых признаков. И в этом случае результаты регрессии представляют собой выборочные характеристики.

4. Неправильная функциональная спецификация. Функциональное соотношение между у и х математически может быть определено неправильно. Например, истинная зависимость может не являться линейной, а быть более сложной. Следует стремиться избегать возникновения этой проблемы, используя подходящую математическую формулу, но любая формула является лишь приближением истинной связи у и х и существующее расхождение вносит вклад в остаточный член.

8. Классический метод наименьших квадратов для модели парной регрессии

При наличии объективной тенденции поддержания линейной связи между переменными и естественно рассмотреть линейную модель наблюдений

, которую так же можно получить, исходя из принципа наименьших квадратов. Согласно этому принципу, среди всех возможных значений , , претендующих на роль оценок параметров и , следует выбирать такую пару , , для которой

(8.9)

Иначе говоря, выбирается такая пара , , для которой сумма квадратов невязок оказывается наименьшей. Получаемые при этом оценки называются оценками наименьших квадратов.

При построении оценок наименьших квадратов заранее не требуется, чтобы соответствующая прямая проходила через точку ; этот факт является свойством оценок наименьших квадратов. Определим, как практически найти указанные оценки и .

Если прямая проходит через точку , то тогда , так что

(8.11)

и для поиска «наилучшей» прямой достаточно определить ее угловой коэффициент . Изменяя значения и следя за изменением значений , можем, найти искомое с любой наперед заданной точностью.

Использование непосредственного перебора значений , с целью минимизации суммы квадратов

(8.12)

при реализации метода наименьших квадратов также возможно, хотя и требует, конечно, существенно больших вычислительных усилий.

Получать оценки наименьших квадратов можно аналитически, сначала вычисляя параметры отдельных прямых, а затем взвешивая полученные значения. Однако, существует еще один способ получения точных формул для и , исходящий из принципа наименьших квадратов.

Согласно этому принципу, оценки и находятся путем минимизации суммы квадратов

(8.16)

по всем возможным значениям и при заданных (наблюдаемых) значениях . Функция как функция двух переменных описывает поверхность в трехмерном пространстве с прямоугольной системой координат , и дело сводится к известной математической задаче поиска точки минимума функции двух переменных.

Дата добавления: 2015-06-04