Строится простая (парная) регрессия в случае, когда среди факторов, влияющих на результативный показатель, есть явно доминирующий фактор. 3 страница

Общая сумма квадратов отклонений индивидуальных значений результативного признака у от среднего значения вызвана влиянием множества причин. Условно разделим всю совокупность причин на две группы: изучаемый фактор х и прочие факторы.

Если фактор не оказывает влияния на результат, то линия регрес­сии на графике параллельна оси ох и .Тогда вся дисперсия результативного признака обусловлена воздействием прочих факторов и общая сумма квадратов отклонений совпадет с остаточной. Если же прочие факторы не влияют на результат, то у связан с х функционально и остаточная сумма квадратов равна нулю. В этом случае сумма квадратов отклонений, объясненная регрессией, совпадает с общей суммой квадратов.

Поскольку не все точки поля корреляции лежат на линии регрессии, то всегда имеет место их разброс как обусловленный вли­янием фактора х, т. е. регрессией у по х, так и вызванный действием прочих причин (необъясненная вариация). Пригод­ность линии регрессии для прогноза зависит от того, какая часть общей вариации признака у приходится на объясненную вариа­цию

Очевидно, что если сумма квадратов отклонений, обусловленная регрессией, будет больше остаточной суммы квадратов, то уравнение регрессии статистически значимо и фактор х оказывает существенное воздействие на результат у

Любая сумма квадратов отклонений связана с числом степе­ней свободы, т. е. с числом свободы независимого варьирования признака. Число степеней свободы связано с числом единиц совокупности n ис числом определяемых по ней констант. Применительно к исследуемой проблеме число степеней свободы должно показать, сколько независимых откло­нений из п возможных требуется для образования данной суммы квадратов.

18. Линейная модель множественной регрессии

Регрессия может дать хороший результат при модели­ровании, если влиянием других факторов, воздействующих на объект исследования, можно пренебречь. Поведение отдельных экономи­ческих переменных контролировать нельзя, т. е. не удается обес­печить равенство всех прочих условий для оценки влияния одно­го исследуемого фактора. В этом случае следует попытаться выявить влияние других факторов, введя их в модель, т. е. пост­роить уравнение множественной регрессии:

y=a+b₁x₁+b₂+…+b_px_p+e; (20.1)

Такого рода уравнение может использоваться при изучении потребления. Тогда коэффициенты bj — частные производные потребления у по соответствующим факторам

x_i: , (20.2)

в предположении, что все остальные х_i постоянны. В 30-е гг. XX в. Кейнс сформулировал свою гипотезу потребительской функции. С того времени исследователи неод­нократно обращались к проблеме ее совершенствования. Совре­менная потребительская функция чаще всего рассматривается как модель вида:

C=j(y,P,M,Z), (20.3)

где С — потребление; у — доход; Р — цена, индекс стоимости жизни; М — наличные деньги; Z — ликвидные активы.

При этом .. (20.4)

Основная цель множественной регрессии — построить модель с большим числом факторов, определив при этом влияние каждого из них в отдельности, а также совокупное их воздействие на моделируемый показатель. Спецификация модели включает в себя два круга вопросов: отбор фак­торов и выбор вида уравнения регрессии. Требования к факторам.1 Они должны быть количественно измеримы. Если необхо­димо включить в модель качественный фактор, не имеющий ко­личественного измерения, то ему нужно придать количествен­ную определенность (например, в модели урожайности качество почвы задается в виде баллов) 2.Факторы не должны быть интеркоррелированы и тем более находиться в точной функциональной связи. Включение в модель факторов с высокой интеркорреляцией, когда

R_yx1 R_x1x2.

Для зависимости

y=a+b₁x₁+b₂+…+b_px_p+e

может привести к нежелательным последствиям, повлечь за собой неустойчивость и ненадежность оценок коэффициентов регрессии. Если между факторами существует высокая корреляция, то нельзя определить их изолированное влияние на результативный показатель и параметры уравнения регрессии оказываются не интерпретированными.

Включаемые во множественную регрессию факторы должны объяснить вариацию независимой переменной. Если строится модель с набором р-факторов, то для нее рассчитывается показа­тель детерминации R², который фиксирует долю объясненной ва­риации результативного признака за счет рассматриваемых в ре­грессии р-факторов. Влияние других не учтенных в модели фак­торов оценивается как 1 - R² с соответствующей остаточной дис­персией S².При дополнительном включении в регрессию (р + 1) фактора коэффициент детерминации должен возрастать, а остаточная дисперсия уменьшаться:

. (20.5)

Насыщение модели лишними факторами не только не снижа­ет величину остаточной дисперсии и не увеличивает показатель детерминации, но и приводит к статистической незначимости параметров регрессии по t-критерию Стьюдента.

19. Классический метод наименьших квадратов для модели множественной регрессии

При построении модели, например, линейного вида случайная величина e представляет собой ненаблюдаемую величину. Для разных спецификаций модели разности между теоретическими и фактическими значениями могут меняться. В задачу регрессионного анализа входит не только построение самой модели, но и исследование случайных отклонений e_i т.е. остаточных величин. После построения уравнения регрессии проводится проверка наличия у оценок e_i некоторых свойств. Эти свойства оценок, полученных МНК, имеют очень важное практическое значение в использовании результатов регрессии и корреляции.

Коэффициенты регрессии b­_i, найденные на основе системы нормальных уравнений и представляющие собой выборочные оценки характеристики силы связи, должны обладать свойством несмещености. Несмещенность оценки означает, что математическое ожидание остатков равно нулю.

Это означает, что найденный параметр регрессии b­_i, можно рассматривать как среднее значение возможных значений коэффициентов регрессии с несмещенными оценками остатков.

Для практических целей важны не только несмещенность, но и эффективность оценок. Оценки считаются эффективными,если они характеризуются наименьшей дисперсией.

Для того, чтобы доверительные интервалы параметров регрессии были реальными, необходимо, чтобы оценки были состоятельными. Состоятельность оценок характеризует увеличение их точности с увеличением объема выборки.

Исследования остатков e_i предполагают проверку наличия следующих пяти предпосылок МНК:

­случайный характер остатков;

нулевая средняя величина остатков, не зависящая от х_i;

­ гомоскедастичность–дисперсия каждого отклонения e_i одинакова для всех значений х;

­ отсутствие автокорреляции остатков. Значения остатков e_i распределены независимо друг от друга;

­остатки подчиняются нормальному распределению.

Если распределение случайных остатков e_i не соответствует некоторым предпосылкам МНК, то следует корректировать модель.

Если на графике получена горизонтальная полоса распределения остатков, то остатки представляют собой случайные величины и МНК оправдан, теоретические значения у_x хорошо аппроксимируют фактические значения у.

Возможны следующие случаи: если e_i. зависит от у_x то:

­остатки e_i. не случайны (рис.3.2а)

­остатки e_i. не имеют постоянной дисперсии (рис.3.2в)

­остатки e_i. носят систематический характер (рис. 3.2б).

В этих случаях (а,б,в) необходимо либо применить другую функцию, либо вводить дополнительную информацию и заново строить уравнение регрессии до тех пор, пока остатки e_i не будут случайными величинами.

Вторая предпосылка означает равенство нулю средней величины остатков:

. (21.1)

20. Линейная модель множественной регрессии стандартизированного масштаба

Дата добавления: 2015-06-04