Структура и показатели эффективности систем массового обслуживания

Классификация случайных процессов при технической эксплуатации автомобилей

Системы массового обслуживания в технической эксплуатации автомобилей

ЗАКОНОМЕРНОСТИ ФОРМИРОВАНИЯ ПРОИЗВОДИТЕЛЬНОСТИ И ПРОПУСКНОЙ СПОСОБНОСТИ СРЕДСТВ ОБСЛУЖИВАНИЯ

Рассматривая закономерности потоков восстановления, мы предполагали, что поддержание и восстановление работоспособности происходит мгновенно, без задержки и ожидания, т.е. потребность в ТО, устранение возникших отказов и неисправностей было эквивалентно выполнению соответствующих требований.

Требования — зафиксированный комплекс воздействий, которые необходимо выполнить для поддержания (ТО) или восстановления (ремонт) работоспособности, а также подготовки автомобиля к работе. На автомобильном транспорте существуют требования:

— связанные с техническим состоянием (ТО, ремонт); в реальных условиях требование может включать комбинацию нескольких отказов или неисправностей;

— не связанные с техническим состоянием (заправка топливом, мойка, уборка, парковка и др.)

Средства обслуживания – технические сооружения, устройства, оборудование, образующие систему обслуживания и предназначенные для выполнения требований:

— цехи и участки предприятия;

— посты ТО и ремонта;

— посты заправки (АЗС) и мойки;

— технологическое оборудование;

— зоны стоянки, паркинги, мотели и др.

Поток требований – совокупность требований, поступающих в систему обслуживания за определенное время: год, месяц, неделю, смену, час, минуту.

Параметр потока требований — число требований в единицу времени: требований/ч (мин).

Поток требований служит основой для планирования производственной программы предприятия (цеха, участка, поста) и определяется:

— расчетно-аналитическим методом (см. гл. 3) с использованием нормативов ТО и ремонта, данных по надежности;

— на основании анализа фактических данных по потокам требований;

— методом моделирования.

Особенности потока требований:

— неравномерность поступления во времени;

— неравномерность (случайность) продолжительности (трудоемкости) выполнения.

Системы, в которых случайными являются моменты поступления требований на обслуживание и продолжительность самих обслуживаний, называются системами массового обслуживания (СМО).

Примерами СМО в области технической эксплуатации автомобильного транспорта являются: посты, линии ТО, участки ремонтных мастерских и предприятий автомобильного транспорта, склады запасных частей, стоянки, АЗС и др. Очевидно, для качественного и своевременного выполнения требований необходимы:

— персонал ИТС, включающий ремонтных и вспомогательных рабочих, техников, служащих и инженеров;

— средства труда, которые, вовлекаясь в производственный процесс, превращаются в основные производственные фонды, имеющие активную и пассивную части (применительно к ТЭА пассивная часть основных фондов – это здания, сооружения, коммуникации, создающие необходимые условия для выполнения ТО, ремонта и других воздействий, а активная – средства механизации и автоматизации (роботизации));

— материалы, запасные части и энергия, необходимые для выполнения требований.

Имеющиеся помещения, оборудование, персонал, материалы и запасные части могут количественно и качественно соответствовать или не соответствовать потоку требований на поддержание и восстановление работоспособности автомобилей и подготовку их к работе. В последнем случае пропускная способность средств обслуживания оказывается недостаточной, образуются очереди в ожидании выполнения требований и производительность самих автомобилей из-за потерь рабочего времени снижается. Для рациональной организации производства необходимо согласование работы персонала, средств обслуживания и потоков требований на обслуживание, основанное на понимании процессов в СМО и умении управлять ими, опираясь на закономерности ТЭА седьмого вида.

Для описания сложных технических систем, в частности СМО, наиболее распространенным является аппарат марковских случайных процессов (названный в честь знаменитого русского математика А.А. Маркова). Их особенность заключается в том, что вероятность любого состояния системы (например, автомобиля, группы автомобилей) в будущем зависит только от ее состояния в настоящее время и не зависит от того, когда и какими путями система пришла в это состояние. Действительно, работоспособность автомобиля в будущем зависит только от его фактического технического состояния, к которому автомобиль может прийти по-разному.

Марковские процессы с дискретным состоянием и непрерывным временем (непрерывные цепи Маркова) характеризуют функционирование систем, у которых переход из одного состояния в другое происходит в случайные моменты времени, а сами состояния дискретны, например изделие работоспособно или отказало.

Если возможные состояния системы S ₁, S ₂,..., S_n определены, то это марковский случайный процесс с дискретным состоянием, который выражается в том, что система скачком переходит из одного состояния в другое. S_k → S_{k +1}. Если переходы осуществляются в заранее зафиксированные моменты времени (например, при ТО) t ₁, t ₂,..., t_k, то это марковский случайный процесс с дискретным временем, а последовательность случайных переходов называется марковской цепью. Марковские процессы хорошо иллюстрируются графом состояния системы, на котором прямоугольниками отмечены сами состояния, а стрелками – направления переходов. Если на графе у стрелок указаны вероятности или плотности вероятности перехода, то он называется размеченным графом состояний (рисунок 5.1).

Рисунок 5.1 – Размеченный граф состояний для марковского процесса

с непрерывным временем

Для марковского процесса с дискретным состоянием и непрерывным временем рассматриваются плотности вероятностей λ переходов системы за время Δ t; из состояния S_i, в состояние S_j:

(5.1)

где Р_ij – вероятность того, что за Δ t истема перейдет из состояния S_i, в состояние S_j.

При малом Δ t Р_ij (Δ t)=λ _ij Δ t. Если все λ _ij не зависят от t, то процесс называется однородным, а в противоположном случае – неоднородным.

Имея данные по плотностям вероятностей переходов λ _ij можно рассчитать вероятности всех состояний системы в разные моменты времени, т.е. определить вероятность первого состояния Р ₁(і), второго Р ₂(і), и т.д.

Эти вероятности определяются из системы дифференциальных уравнений А.Н. Колмогорова, составляемых по следующим правилам:

1) в левой части уравнения помещается производная вероятности соответствующего состояния, например d P ₁/d t;

2) правая часть содержит столько членов, сколько переходов (стрелок в размеченном графе) связано с данным состоянием;

3) каждый член правой части уравнения равен произведению плотности вероятности перехода на вероятность того состояния, из которого переход осуществляется;

4) знак «+» ставится перед членами правой части уравнения при переходе в данное состояние, а знак «-» – при выходе из данного состояния.

Например, для размеченного графа состояний, изображенного на рисунок 5.1, записывается система уравнений:

d P 1/d t =-(λ12+λ13+λ14) P 1+λ21 P 2+λ41 P 4; d P 2/d t =λ12 P 1+λ32 P 3-λ21 P 2; d P 3/d t =λ13 P 1-(λ32+λ34) P 3; d P 4/d t =λ14 P 1+λ34 P 3-λ41 P 4.

(5.2)

В уравнении для краткости опущены индексы t, т.е. вместо Р (t)записано Р и т.д.

Так называемые предельные состояния (при t → ∞), когда Р_i= соnst, определяются из приведенной системы уравнений, у которых левые части приравниваются нулю, и условия, что Р ₁ +Р ₂ +Р ₃ +Р ₄ = 1. Эти финальные вероятности характеризуют среднее время пребывания системы в соответствующих состояниях S ₁, S ₂, S ₃и S ₄, а в общем виде: S ₁, S ₂,..., S_n.

Одним из распространенных случаев марковского процесса с дискретным состоянием и непрерывным временем являются простейшие процессы, или потоки, обладающие свойствами стационарности, ординарности и отсутствия последствия.

Стационарным является поток, при котором вероятность возникновения событий (например, отказов) в течение определенного промежутка времени (или пробега) зависит только от длины этого промежутка и не зависит от начала отсчета времени. Для стационарного потока за наработку X количество событий (отказов, требований)

(5.3)

Ординарность означает, что вероятность возникновения на элементарном отрезке времени двух или более событий пренебрежима по сравнению с длиной самого участка. Применительно к описанию надежности ординарность означает, что одновременное возникновение двух разных отказов у автомобиля практически мало вероятно.

Отсутствие последствия – это независимость характера потока от числа ранее поступивших отказов и моментов их возникновения. На практике суммирование не менее шести—восьми элементарных потоков приводит к образованию простейшего или близкого к нему потока.

Для простейшего потока отказов вероятность возникновения определенного числа отказов в течение времени определяется законом Пуассона:

(5.4)

где k= 0, 1, 2… отказов число отказов, возникающих за время t;

ω — параметр потока

В реальных условиях производства значение t обычно принимают равным 1, например 1 ч, 1 смена, 1 неделя, т.е. t= 1, а ω t= Ω₀= а —среднее число отказов, возникающих за время t. В этом случае

(5.5)

Используя последнюю формулу, можно установить вероятность появления определенного числа требований Р_k при известном значении а.

Рисунок 5.2 – Вероятность возникновения требований по закону Пуассона

в зависимости от их среднего числа а

Например, при а =3 вероятность отсутствия требований

=0,05, или 5 %;

вероятность появления одного требования – 0,15; двух – 0,22; трех – тоже 0,22; четырех – 0,16 и т.д. (рисунок 5.2). Таким образом, загрузка постов и оборудования носит вероятностный характер: в примере у 22 % всех смен будет фактическое число требований, совпадающее со средним, у 42 % (5+15+22) загрузка будет меньше, а в 36 % (100-22-42) случаев – больше средней.

Следовательно, расчет производственных помещений, оборудования, штата рабочих, т.е. пропускной способности предприятия (участка, поста), исходя из средней потребности может привести или к неполной загрузке зон и участков, или к необходимости ожидания момента обслуживания, т.е. к образованию очереди требований. Иными словами, необходима оптимизация систем обслуживания, под которой понимается соответствие функционирования этих систем определенным критериям эффективности. При этом возможны два подхода, которые условно можно назвать внутренними (для предприятия) и внешними (для клиентуры).

При первом подходе, свойственном функционированию ИТС в рамках системы более высокого уровня (например, комплексное АТП), сопоставляются за определенный промежуток времени затраты, связанные с простоем автомобиля в ожидании ремонта или обслуживания С _а и простоем оборудования и ремонтного персонала в ожидании автомобилей С_ор.

По мере роста показателей, влияющих на пропускную способность средств обслуживания Z (число постов, исполнителей, оснащение технологическим оборудованием и инструментом), затраты, связанные с простоем автомобилей в ожидании обслуживания, сокращаются (кривая 1 на рисунке 5.3), а затраты, вызванные простоем средств обслуживания и персонала в ожидании загрузки, возрастают (кривая 2 на рисунке 5.3).

Минимальное значение суммы этих затрат (кривая 3 на рисунке 5.3), являющейся целевой функцией, и будет соответствовать оптимальной структуре обслуживания (например, число постов, исполнителей), при которой минимизируются потери предприятия, связанные с простоем средств обслуживания, ожиданием объектов обслуживания.

При втором подходе, характерном для обслуживания внешней по отношению к предприятию клиентуры, целевая функция направлена на максимизацию прибыли П_Z, получаемой от функционирования системы обслуживания, при разных показателях Z. В этом случае наблюдается несколько зон функционирования системы обслуживания (рисунок 5.4).

Характерным признаком рассматриваемого закона Пуассона является равенство дисперсии среднему значению, поэтому коэффициент вариации потока требований υ= а ^-0,5. Это означает, что с увеличением программы вариация ее фактического значения сокращается. Например, при средней программе а =1; υ = 1; а =3; υ=0,58; а =5, υ = 0,45; а =25, υ=0,2, т.е. распределение становится более симметричным с увеличением программы (см. рисунок 5.2 при а= 6), что благоприятно сказывается на организации технологического процесса ТО и ремонта.

Поэтому укрупнение предприятий, централизация и кооперирование ТО и ремонта, приводящие к увеличению программы работы, – это направления совершенствования технической эксплуатации автомобилей.

Еще одним важным свойством простейшего потока является то, что изменение промежутка времени между двумя соседними событиями (требованиями) подчиняется экспоненциальному закону распределения.

Затраты: 1 — от простоев автомобилей; 2 —системы обслуживания в ожидании требований на обслуживание; 3 — суммарные

Рисунок 5.3 – Определение показателей пропускной способности систем обслуживания технико-экономическим методом

А, Е —зоны убытков предприятии: А —в результатс недостаточной пропускной способности средств обслуживания (очередь, потеря клиентуры); Е — в результате недогрузки и простоев средств обслуживания; В, D — зоны устойчивой, но разной, С — максимальной при оптимальных показатслях прибыли

Рисунок 5.4 – Зависимость прибыли от показателей Z системы обслуживания предприятия

Если поток обладает только двумя свойствами (ординарностью и отсутствием последствия), то он называется нестационарным пуассоновским, и тогда в течение смены число событий за интервал (t,t +τ) определяется следующим образом:

(5.6)

Стабилизация параметра потока отказов или ее приведение на отдельных участках к стабильному значению (см. рисунок 5.6) позволяет рассматривать потоки как простейшие, или пуассоновские, и применять для характеристики потока уравнение Пуассона.

Если в марковских процессах с непрерывным временем все дискретные состояния располагаются в последовательную цепь с переходами, показанными на рисунок 5.5, то это так называемый процесс гибели и размножения. Очевидно, для первого состояния имеется равновесие λ₁₂ P ₁=λ₂₁ P ₂, для второго состояния λ₂₃ P ₂+λ₂₁ P ₂=λ₁₂ P ₁+λ₃₂ P ₃, но, учитывая равенство для первого состояния, имеем λ₂₃ P ₂=λ₃₂ P ₃, т.е. для данного процесса имеет место соотношение λ _{k -1,k} P_{k -1}=λ _{k,k -1} P_k, где k принимает значение от 2 до п.

а – «гибели и размножения»; б – циклического

Рисунок5.5 – Схемы марковских процессов

Используя это соотношение, а также условие Р ₁+ Р ₂ +...+Р_п= 1, определяем предельные вероятности

(5.7)

Например, на крупном АТП имеется компрессорная станция, состоящая из трех одинаковых компрессоров, средняя наработка на отказ каждого из которых составляет . Поток отказов простейший. Среднее время ремонта равно _р. Определить среднюю производительность станции при условии, что производительность трех компрессоров W₁=100 %: двух – W₂=70 % и одного – W₃=35 %.

Поток отказов одного компрессора по условию является простейшим с экспоненциальным распределением наработки между отказами и параметром λ = 1/ .

Если работают все три компрессора (состояние S ₁), то потоки отказов суммируются и возрастают в три раза, т.е. λ₁₂=3 / (см. рисунок 5.5, а). При работе двух компрессоров (состояние S ₂) λ₂₃=2 / , одного (состояние S ₃) – λ₃₄=1/ . При состоянии S ₄ все три компрессора ремонтируются.

В рассматриваемой модели необходимо учитывать не только интенсивность отказов, но и интенсивность восстановления μ, которая при экспоненциальном законе распределения продолжительности восстановления равна величине, обратной средней продолжительности ремонта 1/ _р, т.е. при работе одного компрессора μ₁=λ₁₂ = 1/ _р, двух – μ₂ = λ₃₂=2/ _р, трех – μ₃ = λ₄₃=3/ _р. С учетом (5.7) и для = 50 ч и _р=4 ч имеем

Средняя производительность компрессорной станции в установившемся режиме Если средняя наработка на отказ будет ниже, например 32 ч, то вероятности соответственно составят: Р ₁ = 0,702; Р ₂ = 0,265; Р ₃ = 0,032; Р ₄ = 0,001, а средняя производительность компрессорной станции сократится до 0,89W₁, или на 4,5 %.

= P ₁W₁+ P ₂W₂+ P ₃W₃+ P ₄W₄=0,79W₁+0,19W₁+0,015 0,35W₁=0,93W₁.

Если в марковском процессе с непрерывным временем дискретные состояния связаны между собой в одно кольцо и имеют односторонние переходы, то такой процесс называется циклическим. Например, автомобиль последовательно (рисунок 5.5, б) может быть исправным и работать (S ₁), ожидать ремонта (S ₂), ремонтироваться (S ₃), ожидать работы после ремонта (S ₄) и снова работать (S ₁). Плотность вероятности переходов будет соответственно λ₁₂, λ₂₃, λ₃₄, λ₄₁. Для предельных вероятностей, т.е. d P /d t =0, и при переходе из первого во второе состояние имеем λ₁₂ P ₁=λ₂₃ P ₂, далее λ₂₃ P ₂=λ₃₄ P ₃ …×
×λ _{k -1, k} P_{k -1}=λ _{k , k -1} P_k. При переходе в последнее состояние λ _{n -1, n} P_{n -1}=λ _{n , n -1} P_n, при переходе из последнего в первое λ _{n ,1} P_n =λ_{1, 2} P ₁. Решая эту систему уравнений, получим

(5.8)

Т.к. рассматриваемый процесс – пуассоновский, среднее время пребывания системы в состоянии S_i: _i =1/λ _{i,i +1}, откуда

λ i,i +1=1/ i; λ n, 1=1/ n.

(5.9)

С учетом (5.8) и (5.9)

или в общем виде

.

(5.10)

Определим предельные вероятности для случая, рассмотренного на рисунке 5.5, б, при условии, что

₁= T _н; ₂=0,3 T _н; ₃=0,19 T _н; ₄=0,8 T _н,

где T _н — среднее время нахождения автомобиля в наряде.

Р ₁ = 1/2,29=0,44; Р ₂ = 0,13; Р ₃ = 0,08; Р ₄ = 0,35. Сумма Р равна единице.

Преимуществом теоретических моделей (типа (5.3)—(5.10) и др.) в отличие от экспериментального подхода, который фиксирует простейшие события и показатели, соответствующие определенному моменту времени и состоянию системы, является возможность предвидеть поведение и состояние системы при изменении действующих на нее факторов.

Система массового обслуживания состоит из следующих элементов (рисунок 5.6).

1 — входящий поток требований ω(t) – совокупность требований к СМО на проведение определенных работ (заправка, мойка, ТО и др.) или оказание услуг (покупка изделий, деталей, материалов и др.). Входящий поток требований может быть постоянным и переменным.

Требования бывают однородные (одинаковые виды работ или услуг) и неоднородные (разные виды работ или услуг).

2 — очередь – требования, ожидающие обслуживания. Очередь оценивается средней длиной r – числом объектов или клиентов, ожидающих обслуживания.

Рисунок 5.6 – Общая схема системы массового обслуживания

3 — обслуживающие аппараты (каналы обслуживания) – совокупность рабочих мест, исполнителей, оборудования, осуществляющих обслуживание требований по определенной технологии.

4 — выходящий поток требований ω’(t) – поток требований, прошедших СМО. В общем случае выходящий поток может состоять из требований обслуженных и необслуженных. Пример необслуженных требований: отсутствие нужной детали для автомобиля, находящегося в ремонте.

5— замыкание (возможное) СМО – состояние системы, при котором входящий поток требований зависит от выходящего.

На автомобильном транспорте после обслуживания требований (ТО, ремонт) автомобиль должен быть технически исправным.

Системы массового обслуживания классифицируются следующим образом.

1 По ограничениям на длину очереди:

— СМО с потерями – требование покидает СМО необслуженным, если в момент его поступления все каналы заняты;

— СМО без потерь – требование занимает очередь, даже если все каналы
заняты;

— СМО с ограничениями по длине очереди m или времени ожидания: если существует ограничение на очередь, то вновь поступившее (m +1)-е требование выбывает из системы необслуженным (например, ограниченная емкость накопительной площадки перед АЗС).

2 По количеству каналов обслуживания п:

— одноканальные: n =1;

— многоканальные n ≥2.

3 По типу обслуживающих каналов:

— однотипные (универсальные);

— разнотипные (специализированные).

4 По порядку обслуживания:

— однофазовые – обслуживание производится на одном аппарате (посту);

— многофазовые – требования последовательно проходит несколько аппаратов обслуживания (например, поточные линии ТО; конвейерная сборка автомобиля; линия внешнего ухода: уборка → мойка → обсушка → полировка).

5 По приоритетности обслуживания:

— без приоритета – требования обслуживаются в порядке их поступления на СМО;

— с приоритетом – требования обслуживаются в зависимости от присвоенного им при поступлении ранга приоритетности (например, заправка автомобилей скорой помощи на АЗС; первоочередной ремонт на АТП автомобилей, приносящих наибольшую прибыль на перевозках).

6 По величине входящего потока требований:

— с неограниченным входящим потоком;

— с ограниченным входящим потоком (например, в случае предварительной записи на определенные виды работ и услуг).

7 По структуре СМО:

— замкнутые – входящий поток требований при прочих равных условиях зависит от числа ранее обслуженных требований (комплексное АТП, обслуживающее только свои автомобили (5 на рисунке 5.6));

— открытые – входящий поток требований не зависит от числа ранее обслуженных: АЗС общего пользования, магазин по продаже запасных частей.

8 По взаимосвязи обслуживающих аппаратов:

— с взаимопомощью – пропускная способность аппаратов непостоянна и зависит от занятости других аппаратов: бригадное обслуживание нескольких постов СТО; использование «скользящих» рабочих;

— без взаимопомощи – пропускная способность аппарата не зависит от работы других аппаратов СМО.

Применительно к технической эксплуатации автомобилей находят распространение замкнутые и открытые, одно- и многоканальные СМО, с однотипными или специализированными обслуживающими аппаратами, с одно- или многофазовым обслуживанием, без потерь или с ограничением на длину очереди или на время нахождения в ней.

В качестве показателей эффективности работы СМО используют приведенные ниже параметры.

Интенссивность обслуживания

μ=1/ t д,

(5.11)

где t _д — продолжительность (длительность) обслуживания одного требования.

Приведенная плотность потока требований

ρ=ω/μ,

(5.12)

где ω — параметр потока требований.

Абсолютная пропускная способность показывает количество требований, поступающих в единицу времени, т.е.

A =ω g,

(5.13)

где g — относительная пропускная способность.

Относителъная пропускная способность определяет долю обслуженных требований от общего их количества.

Вероятность того, что все посты свободны Р ₀, характеризует такое состояние системы, при котором все объекты исправны и не требуют проведения технических воздействий, т.е. требования отсутствуют.

Вероятность отказа в обслуживании Р _отк имеет смысл для СМО с потерями и с ограничением по длине очереди или времени нахождения в ней. Она показывает долю «потерянных» для системы требований.

Вероятность образования очереди Р _очопределяет такое состояние системы, при котором все обслуживающие аппараты заняты, и следующее требование «встает» в очередь с числом ожидающих требований r.

Зависимости для определения названных параметров функционирования СМО определяются ее структурой.

t ож= r /ω.

(5.14)

Количество требований, связанных с системой,

k = r + n зан,

(5.15)

где n _зан — среднее количество занятых постов.

Время связи требования с системой:

— СМО с потерями

t сист= gt д;

(5.16)

— СМО без потерь

t сист= t д+ t ож.

(5.17)

Издержки от функционирования системы

И = С 1 r + С 2 n сн+(С 1+ C 2)ρ,

(5.18)

где С ₁ — стоимость простоя автомобиля в очереди;

r — средняя длина очереди;

С ₂ —стоимость простоя обслуживающего канала;

n _сн — количество простаивающих (свободных) каналов;

t _ож — среднее время нахождения в очереди.

Из-за случайности входящего потока требований и продолжительности их выполнения всегда имеется какое-то среднее число простаивающих автомобилей. Поэтому требуется так распределить число обслуживающих аппаратов (постов, рабочих мест, исполнителей) по различным подсистемам, чтобы И= min. Этот класс задач имеет дело с дискретным изменением параметров, так как число аппаратов может изменяться только дискретным образом. Поэтому при анализе системы обеспечения работоспособности автомобилей используются методы исследования операций, теории массового обслуживания, линейного, нелинейного и динамического программирования и имитационного моделирования.

Пример. Станция технического обслуживания имеет один пост диагностирования (п= 1). Длина очереди ограничена двумя автомобилями (т= 2). Определить параметры эффективности работы диагностического поста, если интенсивность потока требований на диагностирование в среднем А =2 треб./ч, продолжительность диагностирования t _д = 0,4 ч.

Интенсивность диагностирования μ=1/0,4=2,5.

Приведенная плотность потока ρ=2/2,5=0,8.

Вероятность того, что пост свободен,

P ₀=(1-ρ)/(1-ρ ^{m +2})=(1-0,8)/(1-0,8⁴)=0,339.

Вероятность образования очереди

P _оч=ρ² Р ₀=0,8² 0,339=0,217.

Вероятность отказа в обслуживании

P _отк=ρ ^{m +1}(1-ρ)/(1-ρ ^{m +2})=0,8³(1-0,8)/(1-0,84)=0,173.

Относительная пропускная способность

g =1- P _отк=1-0,173=0,827.

Абсолютная пропускная способность

А =2 0,827=1,654 треб./ч.

Среднее количество занятых постов или вероятность загрузки поста

n _зан=(ρ-ρ ^{m +2})/(1-ρ ^{m +2})=(0,8-0,8⁴)/(1-0,8⁴)=0,661=1- P ₀.

Среднее количество требовниий, находящихся вочереди,

Среднее время нахождения требования в очереди

t _ож= r /ω=0,564/2=0,282 ч.

Пример. На автотранспортном предприятии имеется один пост диагностирования (п= 1). В данном случае длина очереди практически неограниченна. Определить параметры эффективности работы диагностического поста, если стоимость простоя автомобилей в очереди составляет С ₁ = 20 ре (расчетных единиц) в смену, а стоимость простоя постов С ₂ = 15 ре Остальные исходные данные те же, что и для предыдущего примера.

Интенсивность диагностирования и приведенная плотность потока остаются теми же: μ=2,5, ρ=0,8.

Вероятность того, что пост свободен

P ₀=1-ρ=1-0,8=0,2.

Вероятность образования очереди

P _оч=ρ² Р ₀=0,8² 0,2=0,128.

Относительная пропускная способность g =1, так как все намеченные автомобили пройдут через диагностический пост.

Абсолютная пропускная способность А =ω=2 треб./ч.

Среднее количество занятых постов n _зан=ρ=0,8.

Среднее количество требований, находящихся в очереди,

r =ρ²/(1-ρ)=0,8²/(1-0,8)=3,2.

Среднее время ожидания в очереди

t _ож=ρ²/(1-ρ)/μ=0,8²/(1-0,8)/2,5=1,6.

Издержки от функционирования системы

И = С ₁ r + С ₂ n _сн+(С ₁+ C ₂)ρ=20 3,2+15 0,2+(20+15) 0,8=95,0 ре/смену.

Пример. На том же автотранспортном предприятии число постов диагностирования увеличено до двух (n =2), т.е. создана многоканальная система. Так как для создания второго поста необходимы капиталовложения (площади, оборудование и т.д.), то цена простоя средств обслуживания увеличивается до С’ ₁=22 ре. Определить параметры эффективности работы системы диагностирования. Остальные исходные данные те же, что для предыдущего примера.

Интенсивность диагностирования и приведенная плотность потока остаются теми же: μ=2,5, ρ=0,8.

Вероятность того, что оба поста свободны,

Р ₀=1: =0,294.

Вероятность образования очереди

P _оч=ρ ⁿР ₀ / n!=0,8² 0,294/2=0,094,

т.е. на 37 % ниже, чем в предыдущем примере.

Относительная пропускная способность g =1, так как все автомобили пройдут через диагностические посты.

Абсолютная пропускная способность А =2 треб./ч.

Среднее количество занятых постов n _зан=ρ=0,8.

Среднее количество требований, находящихся в очереди,

r =ρ P _оч/(n -ρ)=0,8² 0,094/(2-0,8)=0,063.

Среднее время нахождения в очереди

t _ож= P _оч/(n -ρ)/μ=0,094/(2-0,8)/2,5=0,031.

Издержки от функционирования системы

И = С ₁ r + С ₂ n _сн+(С ₁+ C ₂)ρ=20 0,063+22 1,2+(20+22) 0,8=61,26 ре/смену,

т.е. в 1,55 раза ниже, чем при тех же условиях для одного диагностического поста, главным образом за счет сокращения очереди автомобилей на диагностику и времени ожидания автомобилей более чем в 50 раз. Следовательно, строительство второго диагностического поста в рассматриваемых условиях целесообразно. Используя формулу (5.18) из условия И ₁ =И ₂, можно оценить предельные значения цены простоя средств обслуживания при строительстве и оснащении второго диагностического поста, которая в рассмотренном примере составляет C ₂^пр=39 ре.

Дата добавления: 2015-06-04