Итак, решение двойственной задачи дает важное экономическое дополнение к решению исходной задачи

Если в оценочной строке последней симплекс таблицы хотя бы один из коэффициентов при балансовых переменных равен 0, то задача имеет бесконечное множество оптимальных решений (альтернативный оптимум).

Если в оценочной строке последней симплекс- таблицы все коэффициенты при балансовых переменных больше 0, то оптимальное решение единственно.

Можно ли получить дополнительную экономическую информацию? Оказывается, да и весьма существенную- этот вопрос мы рассмотрим в следующем параграфе.

§ 4. Двойственные задачи (dual problem).

Вновь рассмотрим модель из предыдущей лекции:

Ресурсы	Запасы	Расх. коэфф.
1 2 3
труд		6 5 4
сырье		3 2 4
оборудование		5 3 3
Прибыль, у.е.		9 10 16

6х₁ + 5х₂ + 4х₃ ≤ 120 6у₁ +3у₂ + 5у₃ ≥ 9

3х₁ + 2х₂ + 4х₃ ≤ 96 5у₁ +2у₂ + 3у₃ ≥ 10

5х₁ + 3х₂ + 3х₃ ≤ 180 4у₁ +4у₂ + 3у₃ ≥ 16

х₁, х₂, х₃ ≥ 0 у₁, у₂, у₃ ≥ 0

F= 9х₁ + 10х₂ + 16х₃ → max G = 120y₁ + 96у₂ + 180y₃ → min

Напомним, что Х _опт = (0, 8, 20), F_max = 400

Рядом с исходной моделью выписана так называемая двойственная задача.

Внимательный студент легко поймет, как по исходной задаче записать двойственную и обратно.

Переменные у_i называются двойственными.

Из любого ограничения двойственной задачи следует, что размерность у_i совпадает с размерностью правой части (рубли/ ед. ресурса). Поэтому у_i имеют смысл цены единицы ресурса. Их так и называют – теневые цены ресурсов (shadow prices).

Теневая цена, также, указывает на величину прироста максимума прибыли от дополнительного вовлечения в производство 1 ед. ресурса. Это прямо вытекает из вида функции G. Поэтому,

сравнивая теневые цены ресурсов можно решить, в какой из ресурсов выгоднее инвестировать дополнительные средства!.

Это существенный экономический вывод!

Оказывается, у_i легко найти по решению исходной задачи: так как х₂ и х₃ не равны 0, то второе и третье ограничения двойственной задачи обращаются в равенства!

5у₁ +2у₂ + 3у₃ = 10

4у₁ +4у₂ + 3у₃ = 16

Более того, так как при подстановке оптимального решения Х _опт = (0, 8, 20) в систему ограничений исходной задачи третье ограничение обращается в строгое неравенство, то у₃ =0. Получаем

5у₁ +2у₂ = 10

4у₁ +4у₂ = 16

Итак, у₁ =2/3, у₂ =10/3.→ у_опт = (2/3, 10/3, 0)

Таким образом, дополнительные средства выгоднее вкладывать в закупку сырья (у₂ > у₃). Еще раз подчеркнем, что у₂=10/3 указывает на величину ожидаемого прироста максимума прибыли от дополнительного вовлечения в производство 1 ед. сырья.

Это даст наибольший прирост максимума прибыли!

Итак, наряду с расчетом оптимальной производственной программы, решается задача оптимального расширения существующего производства за счет дополнительного привлечения ресурсов к уже имеющимся объемам!

Отметим также что F_max = 400, G_min = 120* (2/3) + 96* (10/3) +180 *(0) =400. И это всегда так!

Таким образом, сами оптимальные значения обоих задач совпадают: F_max = G_min.

Экономический смысл этого равенства: предприятию безразлично- выпускать продукцию следуя оптимальному плану или, быть может, взять да продать ресурсы по теневым ценам и, тем самым, возместить понесенные затраты.

Отметим еше дополнительный смысл теневых цен: цены должны быть не слишком низкими (в ограничениях знак ≥) и покупателю ресурсов должна быть выгодна покупка (G → min)!.

Заметим также, что оптимальное решение двойственной задачи можно получить по последней симплекс - таблице исходной задачи:

достаточно лишь найти абсолютные значения балансовых переменных. Под ними в оценочной строке и будет располагаться оптимальное решение двойственной задачи. Так, в § 3 оптимальное решение двойственной задачи (2/3, 10/3, 0). Впрочем, выше мы получили тот же результат из других соображений.

Пример:

Для производства четырех видов изделий А₁, А₂, А₃ и А₄ завод должен использовать три вида сырья I, II и III. Запасы сырья на планируемый период составляют, соответственно, 1000, 600 и 150 единиц.

Расходные коэффициенты (расход каждого вида сырья на производство единицы каждого изделия) и прибыль от реализации единицы каждого изделия приведены в таблице.

Виды сырья	Технологические коэффициенты	Запасы сырья
А1	А2	А3	А4
I
II
III
Прибыль от реализации			2,5

Требуется, зная решение данной задачи, решить задачу, двойственную ей.

1. Построение математической модели:

5х₁ + х₂ + 2х₄ ≤ 1000

4х₁ + 2х₂ + 2х₃ + х₄ ≤ 600

х₁ + 2х₃ + х₄ ≤ 150

х_i ≥ 0

F = 6х₁ +2х₂ +2,5x₃ + 4х₄ → max

Дата добавления: 2015-06-04