Нелинейный регрессионный анализ

Если при проверке гипотезы о линейности устанавливается, что статистический материал не может быть описан линейным уравнением, то переходят к поиску нелинейной модели. Для предварительного выбора вида модели можно использовать примеры, приведенные в таблице 4.5. Можно воспользоваться интерполяцией, в частности интерполяционной формулой Лагранжа:

(4.20)

Для этого на поле рассеяния(рис. 4.2) следует выбрать несколько характерных точек, например и записать соответствующие пары

Определение вида функции по виду поля рассеяния.

Таблица 4.5.

Тогда интерполяционная формула Лагранжа при будет иметь вид

т.е. .

Для одного и того же статистического материала могут быть использованы различные формы связи. Лучшей моделью следует считать ту, которая дает наименьшее значение остаточной дисперсии

(4.21)

После построения уравнения регрессии по методу наименьших квадратов проводят оценивание значимости коэффициентов уравнения регрессии и коэффициента корреляции, а также значимость уравнения в целом.

Рассмотрим оценивание уравнения регрессии, полученного в примере 4.1. Полученное уравнение

рассматривают по нескольким параметрам.

Статистическое оценивание коэффициентов уравнения регрессии. Для статистического оценивания коэффициентов уравнения регрессии проверяют нулевую гипотезу: (B- значение коэффициента уравнения регрессии в генеральной совокупности), т.е. проверяют, отличается ли статистически значимо оценка коэффициента регрессии от нуля. Границу значимости устанавливают по критерию Стьюдента

(4.22)

где - выборочная оценка коэффициента уравнения регрессии;

- среднее квадратическое отклонение коэффициента ;

- значение критерия Стьюдента при числе степеней свободы и уровне значимости .

Если выполняется, по гипотезу отклоняют, т.е. коэффициент уравнения регрессии значимо отличается от нуля.

Пример 4.3. По данным примера 4.1 произвести статистическую оценку коэффициентов уравнения регрессии

Решение: Вычисляем статистику для коэффициентов и :

где средние квадратические отклонения вычисляем по формуле:

По таблице приложения 7 определяем значение критерия Стьюдента при числе степеней свободы и уровне значимости :

Сравниваем:

Отсюда делаем заключение, что коэффициент незначим, т.е. принимается гипотеза , а коэффициент значим, т.е. гипотеза отклоняется. Тогда уравнение из вида должно быть преобразовано в уравнение с доверительной вероятностью (надежностью)

Статистическое оценивание коэффициентов корреляции. Для статистического оценивания коэффициента корреляции проверяют нулевую гипотезу , где R- коэффициент корреляции в генеральной совокупности. Границу значимости устанавливают по критерию Стьюдента.

(4.23)

Если это условие выполняется, то гипотезу отклоняют, т.е. коэффициент принимается значимым.

Пример 4.4. По данным примерам 4.1 определить значимость коэффициента корреляции

Решение: Вычисляем статистику для коэффициента корреляции:

По таблице приложения 7 выбираем значение критерия Стьюдента при уровне значимости и числе степеней свободы :

При условии

Гипотеза отклоняется, т.е. полученный коэффициент корреляции является значимым.

Проверка значимости полученного уравнения регрессии. Для проверки значимости полученного уравнения регрессии, т.е. адекватности полученного уравнения результатам эксперимента, используют критерий Фишера

(4.24)

где - дисперсия случайной величины :

(4.25)

-остаточная дисперсия,

. (4.26)

Величина вычисляется для каждого из по формуле а затем находится разность экспериментального и теоретического значений по всем экспериментам.

Остаточная дисперсия имеет важное значение в статистических исследованиях, так как она представляет собой показатель ошибки предсказания результатов опята уравнением регрессии.

Критерии находится по таблице Фишера при заданном уровне значимости

и числе степеней свободы для и для Для испытаний принимают и

Если условие выполняется, то уравнение регрессии адекватно описывает статистические данные, т.е. статистически значимо для полученных в результате эксперимента данных.

Пример 4.5. Проверить значимость уравнения регрессии

по данным, вычисленным по табл. 4.1, при и .

Решение. Вычисляем статистику:

где

По таблице приложения 8 находим значение критерия Фишера при уровне значимости а = 0,1 и числе степеней свободы = 18 — 1 = = 17; = п- 2 = 18 - 2 = 16:

Сравниваем:

т.е. уравнение регрессии адекватно описывает результаты эксперимента.

Проверка линейности уравнения регрессии. Для проверки линейности уравнения регрессии используется следующий подход. Так как изменение функции отклика Y носит случайный характер, то при каждом значении х рекомендуется проводить несколько экспериментов, чтобы для данного значения получить некоторое среднее значение . В этом случае экспериментальный материал табл. 4.1 представляется в виде табл. 4.6. Здесь принимается уровней , число значений у для берется равным а общее число экспериментов

.

Значение в м эксперименте для обозначаем как Среднее значение для

Таблица 4.6.

Уровни значений	Полученные значения при	Число опытов,	Среднее значение	Сумма квадратов разности	(при , , )
Номер опыта
					2,00 2,67 4,00 5,00 5,33 7,67	2,00 1,11 2,00 2,00 2,67 0,33	1,070 2,140 3,210 4,280 5,350 6,420	0,930 0,530 0,790 0,720 0,020 1,250	2,6114 0,8619 1,9052 1,6074 0,0007 4,8234
							-	-

Для проверки линейности уравнения регрессии вычисляется статистика

(4.27)

Когда сравнивается с критическим значением критерия Фишера при уровне значимости и числе степеней свободы

При < гипотеза о линейности уравнения регрессии принимается, а при > - отвергается. Во втором случае для описания экспериментального материала необходимо выбрать нелинейную модель.

Пример 4.6. По результатам наблюдений, представленным в табл. 4.1, проверить линейность уравнения регрессии .

Решение. Результаты наблюдений, приведенные в примере 4.1, представляем в виде табл. 4.6. Определяем статистику:

По таблице приложения 10 находим при уровне значимости — 0,05 и числе степеней свободы = 6 — 2 = 4, = 18 — 6 = 12:

Сравниваем:

Следовательно, гипотезу о линейности уравнения регрессии следует отвергнуть и перейти к рассмотрению нелинейной формы связи у с x.

Дата добавления: 2015-06-04