КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Уравнения, допускающие понижение порядка
Одним из методов интегрирования ДУ высших порядков является метод понижения порядка. Суть метода состоит в том, что с помощью замены переменной (подстановки) данное ДУ сводится к уравнению, порядок которого ниже. Рассмотрим три типа уравнений, допускающих понижение порядка. 1. Пусть дано уравнение . (1.6)
Порядок можно понизить, введя новую функцию р(х), положив . Тогда у" = р'(х) и получаем ДУ первого порядка: р' = f(x). Решив его, т. е. найдя функцию р = р(х), решим уравнение у' = р(х). Получим общее решение заданного уравнения (1.6). На практике поступают иначе: порядок понижается непосредственно путем последовательного интегрирования уравнения.
Так как уравнение (1.6) можно записать в виде . Тогда, интегрируя уравнение , получаем: , или .
Далее, интегрируя полученное уравнение по х, находим: , т.е. - общее решение данного уравнения. Если дано уравнение ,
то, проинтегрировав его последовательно п раз, найдем общее решение уравнения:
.
Пример 1.1. Решить уравнение .
Решение: Последовательно интегрируя четыре раза данное уравнение, получим:
,
,
,
.
2. Пусть дано уравнение , (1.7)
не содержащее явно искомой функции у.
Обозначим у' = р, где р = р(х) - новая неизвестная функция. Тогда у" = р' и уравнение (1.7) принимает вид р'=f(x;p). Пусть - общее решение полученного ДУ первого порядка. Заменяя функцию р на у', получаем ДУ:
.
Оно имеет вид (1.6). Для отыскания у достаточно проинтегрировать последнее уравнение. Общее решение уравнения (1.7) будет иметь вид
.
Частным случаем уравнения (1.7) является уравнение
, (1.8)
не содержащее также и независимую переменную х. Оно интегрируется тем же способом:
, . Получаем уравнение с разделяющимися переменными.
Если задано уравнение вида , (1.9)
которое также не содержит явно искомой функции, то его порядок можно понизить на k единиц, положив . Тогда ;…; и уравнение (1.9) примет вид .
Частным случаем уравнения (1.9) является уравнение
, или .
С помощью замены , это уравнение сводится к ДУ первого порядка. Пример 1.2. Решить уравнение .
Решение: Полагаем , где , .
Тогда: . Это уравнение с разделяющимися переменными: , .
Интегрируя, получим , , . Возвращаясь к исходной переменной, получим , - общее решение уравнения.
3. Рассмотрим уравнение , (1.10) которое не содержит явно независимой переменной х. Для понижения порядка уравнения введем новую функцию р=р(у), зависящую от переменной у, полагая у' = р. Дифференцируем это равенство по x, учитывая, что : ,
т. e. . Теперь уравнение (1.10) запишется в виде . Пусть является общим решением этого ДУ первого порядка. Заменяя функцию на , получаем - ДУ с разделяющимися переменными. Интегрируя его, находим общий интеграл уравнения (1.10):
.
Частным случаем уравнения (1.10) является ДУ
.
Такое уравнение решается при помощи аналогичной подстановки: , . Так же поступаем при решении уравнения . Его порядок можно понизить на единицу, положив , где . По правилу дифференцирования сложной функции находим . Затем найдем: и т. д. Замечание. Уравнение (1.8) также можно решать, применяя подстановку у' = р, где р = р(у).
Пример 1.3. Найти частное решение уравнения , удовлетворяющее начальным условиям: , .
Решение: Уравнение имеет вид (1.10). Положив , получаем:
.
Так как (иначе что противоречит начальному условию ), то - получили линейное ДУ первого порядка. Проведем решение полученного линейного ДУ методом Бернулли (п. 2.4). Полагаем . Имеем: , или .
Подберем функцию v так, чтобы . Тогда , . Получаем: , т.е. .
Интегрируя это равенство, находим, что . Следовательно,
, или .
Заменяя на , получаем: . Подставляя и в это равенство, находим : , .
Имеем . Отсюда . Находим из начальных условий: , . Таким образом, - частное решение данного ДУ.
Дата добавления: 2015-06-04; Просмотров: 592; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |