Интегрирование ЛОДУ n-го порядка с постоянными коэффициентами

Задача нахождения общего решения ЛОДУ п-го порядка (п > 2) с постоянными коэффициентами

, (1.24)

где p _i, i = l,2,…, n, — числа, решается аналогично случаю уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Сформулируем необходимые утверждения и рассмотрим примеры.

Частные решения уравнения (1.24) также ищем в виде , где k - постоянное число.

Характеристическим для уравнения (1.24) является алгебраическое уравнение п -го порядка вида

. (1.25)

Уравнение (1.25) имеет, как известно, п корней (в их числе могут быть и комплексные). Обозначим их через .

Замечание. Не все из корней уравнения (1.25) обязаны быть различными. Так, в частности, уравнение (k - З)² = 0 имеет два равных корня: . В этом случае говорят, что корень один и имеет кратность . Если кратность корня равна единице: , его называют простым.

Случай 1. Все корни уравнения (1.25) действительны и просты (различны). Тогда функции , , ..., являются частными решениями уравнения (1.24) и образуют фундаментальную систему решений (линейно независимы). Поэтому общее решение уравнения (1.24) записывается в виде

.

Пример 1.9. Найти общее решение уравнения у '" - 2у " - у ' + 2у = 0.

Решение: Характеристическое уравнение имеет корни , , . Следовательно, - общее решение данного уравнения.

Случай 2. Все корни характеристического уравнения действительные, но не все простые (есть корни, имеющие кратность m > 1). Тогда каждому простому корню соответствует одно частное решение вида , а каждому корню кратности т> 1 соответствует m частных решений: , , , …., ,

Пример 1.10. Решить уравнение y^IV - у'" - 3· y" + 5 · y^' - 2 · у = 0.

Решение: Характеристическое уравнение

имеет корни , , , .

Следовательно, - общее решение уравнения.

Случай 3. Среди корней уравнения (1.25) есть комплексно-сопряженные корни. Тогда каждой паре простых комплексно-сопряженных корней соответствует два частных решения и ; а каждой паре корней кратности m > 1 соответствуют частных решений вида

, , , ….., ;

, , , ….., .

Эти решения, как можно доказать, образуют фундаментальную систему решений.

Пример 1.11. Решить уравнение y^v + y^IV + 2у'" + 2у" + у' + у = 0.

Решение: Характеристическое уравнение

имеет корни , , , , .

Следовательно, - общее решение уравнения.

Дата добавления: 2015-06-04