Метод вариации произвольных постоянных

Рассмотрим ЛНДУ (2.1). Его общим решением является функция (2.3), т. е.

.

Частное решение у* уравнения (2.1) можно найти, если известно обще решение соответствующего однородного уравнения (2.2), методом вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа), состоящим в следующем.

Пусть - общее решение уравнения (2.2).

Заменим в общем решении постоянные и неизвестными функциями и и подберем их так, чтобы функция

(2.6)

была решением уравнения (2.1). Найдем производную

.

Подберем функции и так, чтобы

. (2.7)

Тогда

,

.

Подставляя выражение для , и в уравнение (2.1), получим:

,

или

.

Поскольку и решения уравнения (2.2), то выражения в квадратных скобках равны нулю, а потому

. (2.8)

Таким образом, функция (2.6) будет частным решением у* уравнения (2.1), если функции и удовлетворяют системе уравнений (2.7) и (2.8):

,

. (2.9)

Определитель системы , так как это определитель Вронского для фундаментальной системы частных решений и уравнения (2.2). Поэтому система (2.9) имеет единственное решение:

и ,

где и некоторые функции от х. Интегрируя эти функции, находим и , а затем по формуле (2.6) составляем частное решение уравнения (2.1).

Пример 2.1. Найти общее решение уравнения .

Решение: Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения у" + у = 0. Имеем: , , . Следовательно, . Найдем теперь частное решение у* исходного уравнения.

Оно ищется в виде (2.6): . Для нахождения и составляем систему уравнений вида (2.9):

,

.

Решаем её:

,

, ;

, ;

, .

Запишем частное решение данного уравнения: у* = . Следовательно, общее решение данного уравнения имеет вид

.

При нахождении частных решений ЛНДУ может быть полезной следующая теорема.

Теорема 2.2 (о наложении решений). Если правая часть уравнения (2.1) представляет собой сумму двух функций: , а и - частные решения уравнений и соответственно, то функция является решением данного уравнения.

Действительно,

= .

Дата добавления: 2015-06-04