Основные понятия. Бесконечные ряды широко используются в теоретических исследованиях математического анализа, имеют разнообразные практические применения

ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ

Бесконечные ряды широко используются в теоретических исследованиях математического анализа, имеют разнообразные практические применения.

Числовым рядом (или просто рядом) называется выражение вида

, (4.1)

где - действительные или комплексные числа, называемые членами ряда, и_п — общим членом ряда.

Ряд (4.1) считается заданным, если известен общий член ряда и_п, выраженный как функция его номера п: и_п = f(n).

Сумма первых п членов ряда (4.1) называется n-й частичной суммой ряда и обозначается через S_n, т. е. S_n = и₁ + и₂ + … + и_п.

Рассмотрим частичные суммы

S₁ = и₁, S₂ = и₁ + и₂, S₃ = и₁ + и₂ + и₃, …..

Если существует конечный предел последовательности частичных сумм ряда (4.1), то этот предел называют суммой ряда (4.1) и говорят, что ряд сходится. Записывают:

.

Если не существует или , то ряд (4.1) называют расходящимся. Такой ряд суммы не имеет. Рассмотрим примеры.

1. Ряд 2 + 17 - + 196 +….. - нельзя считать заданным,

а ряд 2 + 5 + 8 +... - можно: его общий член задается формулой .

2. Ряд 0 + 0 + 0+--- + 0 +... сходится, его сумма равна 0.

3. Ряд 1 + 1 + 1 + … + 1 +... расходится, при .

4. Ряд 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 +... расходится, так как последовательность частичных сумм 1,0,1,0,1,0,... (S₁ = 1,S₂ = 0,S₃ = 1,…..) не имеет предела.

5. Ряд сходится. Действительно,

, , ………….

.

Следовательно, ,

т. е. ряд сходится, его сумма равна 1.

Рассмотрим некоторые важные свойства рядов.

Свойство 1. Если ряд (4.1) сходится и его сумма равна S, то ряд

, (4.2)

где с - произвольное число, также сходится и его сумма равна c·S. Если же ряд (4.1) расходится и , то и ряд (4.2) расходится.

Обозначим n -ю частичную сумму ряда (4.2) чepeз . Тогда

.

Следовательно, ,

т. е. ряд (4.2) сходится и имеет сумму c·S.

Покажем теперь, что если ряд (4.1) расходится, а , то и ряд (4.2) расходится. Допустим противное: ряд (4.2) сходится и имеет сумму S₁.

Тогда:

.

Отсюда получаем: ,

т. е. ряд (4.1) сходится, что противоречит условию о расходимости ряда (4.1).

Свойство 2. Если сходится ряд (4.1) и сходится ряд

, (4.3)

а их суммы равны S ₁ и S ₂ соответственно, то сходятся и ряды

, (4.4)

причем сумма каждого равна соответственно S ₁ ± S ₂.

Обозначим n -е частичные суммы рядов (4.1), (4.3) и (4.4) через , , и соответственно. Тогда

,

т. е. каждый из рядов (4.4) сходится, и сумма его равна соответственно.

Из свойства 2 вытекает, что сумма (разность) сходящегося и расходящегося рядов есть расходящийся ряд.

В справедливости этого утверждения можно убедиться методом от противного.

Заметим, что сумма (разность) двух расходящихся рядов может быть как сходящимся, так и расходящимся рядом.

Свойство 3. Если к ряду (4.1) прибавить (или отбросить) конечное число членов, то полученный ряд и ряд (4.1) сходятся или расходятся одновременно.

Обозначим через S сумму отброшенных членов, через k - наибольший из номеров этих членов. Чтобы не менять нумерацию оставшихся членов ряда (4.1), будем считать, что на месте отброшенных членов поставили нули. Тогда при п > k будет выполняться равенство S_n - S'_n = S, где S'_n — это n -я частичная сумма ряда, полученного из ряда (4.1) путем отбрасывания конечного числа членов. Поэтому

.

Отсюда следует, что пределы в левой и правой частях одновременно существуют или не существуют, т. е. ряд (4.1) сходится (расходится) тогда и только тогда, когда сходятся (расходятся) ряды безконечного числа его членов.

Аналогично рассуждаем в случае приписывания к ряду конечного числа членов.

Ряд

(4.5)

называется n -м остатком ряда (4.1). Он получается из ряда (4.1) отбрасыванием n первых его членов. Ряд (4.1) получается из остатка добавлением конечного числа членов. Поэтому, согласно свойству 3, ряд (4.1) и его остаток (4.5) одновременно сходятся или расходятся.

Из свойства 3 также следует, что если ряд (4.1) сходится, то его остаток

стремится к нулю при , т. е. .

Дата добавления: 2015-06-04