Признак Даламбера

В отличие от признаков сравнения, где все зависит от догадки и запаса известных сходящихся и расходящихся рядов, признак Даламбера (французский математик, 1717 - 1783г.г.) позволяет часто решить вопрос о сходимости ряда, проделав лишь некоторые операции над самим рядом.

Теорема 5.3. Пусть дан ряд (4.1) с положительными членами и существует конечный или бесконечный предел .

Тогда ряд сходится при и расходится при .

Так как , то по определению предела для любого найдется натуральное число N такое, что при выполняется неравенство

или . (5.6)

Пусть . Можно подобрать так, что число . Обозначим , . Тогда из правой части неравенства (5.6) получаем , или , . В силу свойства 3 числовых рядов можно считать, что для всех = 1,2,3,... Давая номеру эти значения, получим серию неравенств:

,

,

,

………………………….,

,

…………………………..

т. е. члены ряда меньше соответствующих членов ряда , который сходится как ряд геометрической прогрессии со знаменателем 0<q<1. Но тогда, на основании признака сравнения, сходится ряд , а, следовательно, сходится и исходный ряд (4.1).

Пусть . В этом случае . Отсюда следует, что, начиная с некоторого номера N, выполняется неравенство , или , т.е. члены ряда возрастают с увеличением номера . Поэтому . На основании следствия из необходимого признака (см. п. 4.3) ряд (4.1) расходится.

Замечания.

1. Если , то ряд (4.1) может быть как сходящимся, так и расходящимся.

2. Признак Даламбера целесообразно применять, когда общий член ряда содержит выражение вида или .

Пример 5.4. Исследовать на сходимость ряд .

Решение: Находим

.

Так как , то данный ряд по признаку Даламбера сходится.

Пример 5.5. Исследовать сходимость ряда .

Решение: Вычисляем

.

Так как , то данный ряд по признаку Даламбера расходится.

Дата добавления: 2015-06-04