Ряд геометрической прогрессии

Исследуем сходимость ряда

(), (4.6)

который называется рядом геометрической прогрессии. Ряд (4.6) часто используется при исследовании рядов на сходимость.

Как известно, сумма первых n членов прогрессии находится по формуле

, .

Найдем предел этой суммы:

.

Рассмотрим следующие случаи в зависимости от величины q:

1. Если |q| < 1, то при . Поэтому ,

ряд (4.6) сходится, его сумма равна ;

2. Если |q| > 1, то при . Поэтому , ряд (4.6) расходится;

3. Если |q| = 1, то

при q = 1 ряд (4.6) принимает вид , для него и , т. е. ряд (4.6) расходится;

при q = - 1 ряд (4.6) принимает вид в этом случае при четном n и при нечетном n. Следовательно, не существует, ряд (4.6) расходится.

Итак, ряд геометрической прогрессии сходится при |q| < 1 и расходится при .

Пример 4.1. Показать, что ряд сходится.

Решение: Данный ряд можно переписать так:

Как видно, он представляет собой ряд геометрической прогрессии с и . Этот ряд сходится согласно свойству 1 числовых рядов.

Дата добавления: 2015-06-04