Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Системы линейных ДУ с постоянными коэффициентами




 

Рассмотрим еще один метод интегрирования нормальной системы уравнений (3.1) в случае, когда она представляет собой систему линейных однородных ДУ с постоянными коэффициентами, т. е. систему вида

 

 

Для простоты ограничимся рассмотрением системы трех уравнений с тремя неизвестными функциями , и :

 

(3.6)

 

где все коэффициенты - постоянные. Будем искать частное решение системы (3.6) в виде

, , , (3. 7)

 

где - постоянные, которые надо подобрать (найти) так, чтобы функции (3.7) удовлетворяли системе (3.6).

 

Подставив эти функции в систему (3.6) и сократив на множитель , получим:

 

 

или

 

(3.8)

 

Систему (3.8) можно рассматривать как однородную систему трех алгебраических уравнений с тремя неизвестными . Чтобы эта система имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы определитель системы был равен нулю:

 

. (3.9)

 

Уравнение (3.9) называется характеристическим уравнением системы (3.6). Раскрыв определитель, получим уравнение третьей степени относительно . Рассмотрим возможные случаи.

 

Случай 1. Корни характеристического уравнения действительны и различны: . Для каждого корня (i = 1,2,3) напишем систему (3.8) и определим коэффициенты (один из коэффициентов можно считать равным единице). Таким образом, получаем:

 

для корня частное решение системы (3.6):

 

, , ;

 

для корня , , ;

 

для корня , , .

 

Можно показать, что эти функции образуют фундаментальную систему, общее решение системы (3.6) записывается в виде

 

,

 

,

 

.

 

Пример 3.3. Решить систему уравнений:

 

 

Решение: Характеристическое уравнение (3.9) данной системы имеет вид

 

,

 

или , ,

 

, .

 

Частные решения данной системы ищем в виде

 

, ,

, .

 

Найдем и .

 

При система (3.8) имеет вид

 

 

т.е.

 

Эта система имеет бесчисленное множество решений. Положим , тогда . Получаем частные решения

 

, и .

 

При система (3.8) имеет вид

 

 

Положим , тогда . Значит, корню соответствуют частные решения:

 

, и .

 

Общее решение исходной системы, согласно формуле (3.10), запишется в виде:

 

, .

 

Случай 2. Корни характеристического уравнения различные, но среди них есть комплексные: , , .

Вид частных решений в этой ситуации определяют так же, как и в случае 1.

 

Замечание. Вместо полученных частных решений можно взять их линейные комбинации (п. 3.6, случай 3), применяя формулы Эйлера; в результате получим два действительных решения, содержащих функции вида , . Или, выделяя действительные и мнимые части в найденных комплексных частных решениях, получим два действительных частных решения (можно показать, что они тоже являются решениями уравнения). При этом понятно, что комплексно-сопряженный корень не даст новых линейно независимых действительных решений.

 

Пример 3.4. Найти частное решение системы

 

 

удовлетворяющее начальным условиям: , , .

 

Решение: Составляем и решаем характеристическое уравнение:

 

,

 

,

 

, ,

 

, , .

 

Для получаем:

 

 

(см. (3.8)). Отсюда находим: , (положили), . Частное решение системы: , , .

 

Для получаем (см. (3.8)):

 

 

Отсюда находим: (положили), , . Частное комплексное решение системы:

 

, , .

 

В найденных решениях выделим действительную (Re) и мнимую (Im) части:

 

,

 

, ;

 

,

 

, ;

 

,

 

, .

 

Как уже отмечено, корень приведет к этим же самым решения. Таким образом, общее решение системы имеет вид

 

,

 

,

 

.

 

Выделим частное решение системы. При заданных начальных условиях получаем систему уравнений для определения постоянных :

 

, , .

 

Следовательно, искомое частное решение имеет вид

 

,

 

,

 

.

 

Случай 3. Характеристическое уравнение имеет корень кратности m (m = 2,3). Решение системы, соответствующее кратному корню, следует искать в виде:

 

а) если m = 2, то , , ;

б) если т = 3, то

, , .

 

Это решение зависит от m произвольных постоянных. Постоянные А, В, С,...,N определяются методом неопределенных коэффициентов. Выразив все коэффициенты через m, полагаем поочередно один из них равным единице, а остальные равными нулю. Получим m линейно независимых частных решений системы (3.6).

 

Пример 3.5. Решить систему уравнений:

 

 

Решение: Составляем и решаем характеристическое уравнение

 

,

 

,

 

.

 

Корню соответствует система (см. (3.8)):

 

 

Полагая , находим . Получаем одно частное решение исходной системы:

 

, , .

 

Двукратному корню (m = 2) соответствует решение вида

 

, , .

 

Подставляем эти выражения (решения) в уравнения исходной системы:

 

 

или, после сокращения на и группировки,

 

 

Эти равенства тождественно выполняются лишь в случае, когда

 

 

Выразим все коэффициенты через два из них (т = 2), например через А и В. Из второго уравнения имеем F = В. Тогда, с учетом первого уравнения, получаем D = В. Из четвертого уравнения находим Е = А - D, т. е. Е = А - В. Из третьего уравнения:
С = Е — В, т. е. С = А - В - В, или С = А - 2∙ В. Коэффициенты А и В - произвольные.

 

Полагая А = 1, В = 0, находим: С = 1, D = 0, Е = 1, F = 0.

Полагая А = 0, В = 1, находим: С = - 2, D = 1, Е = - 1, F = 1.

Получаем два линейно независимых частных решения, соответствующих двукратному корню :

 

, , и

 

, , .

 

Записываем общее решение исходной системы:

 

,

 

,

 

.

 





Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2015-06-04; Просмотров: 501; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.077 сек.