Системы линейных ДУ с постоянными коэффициентами

Рассмотрим еще один метод интегрирования нормальной системы уравнений (3.1) в случае, когда она представляет собой систему линейных однородных ДУ с постоянными коэффициентами, т. е. систему вида

Для простоты ограничимся рассмотрением системы трех уравнений с тремя неизвестными функциями , и :

(3.6)

где все коэффициенты - постоянные. Будем искать частное решение системы (3.6) в виде

, , , (3. 7)

где - постоянные, которые надо подобрать (найти) так, чтобы функции (3.7) удовлетворяли системе (3.6).

Подставив эти функции в систему (3.6) и сократив на множитель , получим:

или

(3.8)

Систему (3.8) можно рассматривать как однородную систему трех алгебраических уравнений с тремя неизвестными . Чтобы эта система имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы определитель системы был равен нулю:

. (3.9)

Уравнение (3.9) называется характеристическим уравнением системы (3.6). Раскрыв определитель, получим уравнение третьей степени относительно . Рассмотрим возможные случаи.

Случай 1. Корни характеристического уравнения действительны и различны: . Для каждого корня (i = 1,2,3) напишем систему (3.8) и определим коэффициенты (один из коэффициентов можно считать равным единице). Таким образом, получаем:

для корня частное решение системы (3.6):

, , ;

для корня , , ;

для корня , , .

Можно показать, что эти функции образуют фундаментальную систему, общее решение системы (3.6) записывается в виде

,

,

.

Пример 3.3. Решить систему уравнений:

Решение: Характеристическое уравнение (3.9) данной системы имеет вид

,

или , ,

, .

Частные решения данной системы ищем в виде

, ,

, .

Найдем и .

При система (3.8) имеет вид

т.е.

Эта система имеет бесчисленное множество решений. Положим , тогда . Получаем частные решения

, и .

При система (3.8) имеет вид

Положим , тогда . Значит, корню соответствуют частные решения:

, и .

Общее решение исходной системы, согласно формуле (3.10), запишется в виде:

, .

Случай 2. Корни характеристического уравнения различные, но среди них есть комплексные: , , .

Вид частных решений в этой ситуации определяют так же, как и в случае 1.

Замечание. Вместо полученных частных решений можно взять их линейные комбинации (п. 3.6, случай 3), применяя формулы Эйлера; в результате получим два действительных решения, содержащих функции вида , . Или, выделяя действительные и мнимые части в найденных комплексных частных решениях, получим два действительных частных решения (можно показать, что они тоже являются решениями уравнения). При этом понятно, что комплексно-сопряженный корень не даст новых линейно независимых действительных решений.

Пример 3.4. Найти частное решение системы

удовлетворяющее начальным условиям: , , .

Решение: Составляем и решаем характеристическое уравнение:

,

,

, ,

, , .

Для получаем:

(см. (3.8)). Отсюда находим: , (положили), . Частное решение системы: , , .

Для получаем (см. (3.8)):

Отсюда находим: (положили), , . Частное комплексное решение системы:

, , .

В найденных решениях выделим действительную (Re) и мнимую (Im) части:

,

, ;

,

, ;

,

, .

Как уже отмечено, корень приведет к этим же самым решения. Таким образом, общее решение системы имеет вид

,

,

.

Выделим частное решение системы. При заданных начальных условиях получаем систему уравнений для определения постоянных :

, , .

Следовательно, искомое частное решение имеет вид

,

,

.

Случай 3. Характеристическое уравнение имеет корень кратности m (m = 2,3). Решение системы, соответствующее кратному корню, следует искать в виде:

а) если m = 2, то , , ;

б) если т = 3, то

, , .

Это решение зависит от m произвольных постоянных. Постоянные А, В, С,...,N определяются методом неопределенных коэффициентов. Выразив все коэффициенты через m, полагаем поочередно один из них равным единице, а остальные равными нулю. Получим m линейно независимых частных решений системы (3.6).

Пример 3.5. Решить систему уравнений:

Решение: Составляем и решаем характеристическое уравнение

,

,

.

Корню соответствует система (см. (3.8)):

Полагая , находим . Получаем одно частное решение исходной системы:

, , .

Двукратному корню (m = 2) соответствует решение вида

, , .

Подставляем эти выражения (решения) в уравнения исходной системы:

или, после сокращения на и группировки,

Эти равенства тождественно выполняются лишь в случае, когда

Выразим все коэффициенты через два из них (т = 2), например через А и В. Из второго уравнения имеем F = В. Тогда, с учетом первого уравнения, получаем D = В. Из четвертого уравнения находим Е = А - D, т. е. Е = А - В. Из третьего уравнения:
С = Е — В, т. е. С = А - В - В, или С = А - 2∙ В. Коэффициенты А и В - произвольные.

Полагая А = 1, В = 0, находим: С = 1, D = 0, Е = 1, F = 0.

Полагая А = 0, В = 1, находим: С = - 2, D = 1, Е = - 1, F = 1.

Получаем два линейно независимых частных решения, соответствующих двукратному корню :

, , и

, , .

Записываем общее решение исходной системы:

,

,

.

Дата добавления: 2015-06-04