Означення ЛишкА. Обчислення лишків

Раціональні і міроморфні функції

Означення. Цілою називається функція , аналітична в усіх точках розширеної площини z, за виключенням нескінченно віддаленої точки.

Якщо полюс порядку m, то має розклад Лорана в у вигляді - ціла раціональна функція степені m.

Якщо істотньо особлива, то – ціла трансцендентна функція.

Означення. Міроморфною називається така аналітична функція , яка в скінченій частині комплексної площини z не має інших особливих точок, крім полюсів.

Окремими класами міроморфних функцій є цілі та дробово-раціональні функції.

Дробово-раціональна функція - .

Теорема. Однозначна функція , всі особливості якої в розширеній комплексній площині є полюси, є дробово-раціональною функцією.

Доведення теореми див.[2, с.301].

Нехай - ізольована особлива точка функції , тоді в розкладі в ряд Лорана функції в точці коефіцієнт

,

де С - довільний замкнутий контур, що містить в середині себе єдину особливу точку функції і обходиться в додатному напрямі.

Означення. Лишком в ізольованій особливій точці називається комплексне число, що дорівнює .

Позначається цей факт, як .

Можливі наступні можливості:

1) - особлива точка, яка усувається, тоді ;

2) - полюс першого порядку , тоді , тобто .

Приклад. . Тоді - полюс першого порядку .

3) - полюс -го порядку, тоді

і .

Приклад. . Тоді - особлива; полюс другого порядку, тобто m= 2.

Вправи.

Обчислити:

Знайти лишки по всім особливим точкам:

Дата добавления: 2015-06-04