Класифікація ізольованих особливих точок. Нескінченно віддалена особлива точка. Критерій особливої точки, яка усувається

Розкладання аналітичної функції в ряд Лорана

Теорема. Нехай аналітична в кільці , тоді вона в цьому кільці однозначно визначена рядом Лорана, що збігається

.

Доведення теореми див. [2, с.282], [1, с.110].

Приклад. Розкласти в ряд функцію

Розв’язання:

Вправи.

Розкласти в ряд Лорана в околі точки

Означення. Нехай називається ізольованою особливою точкою - якщо аналітична функція в кільці , а - особлива точка (тобто в не є аналітичною).

В кільці розкладається в ряд Лорана; отримаємо один з трьох випадків:

У першому випадку називається особливою точкою, яка усувається.

У другому випадку називається полюсом порядку m.

У третьому випадку називається істотною особливою точкою.

Теорема. Нехай особлива точка , яка усувається, тоді існує скінчений

Таким чином, можна довизначити в точці значенням і вона буде аналітичною в колі .

Теорема. Якщо аналітична в та обмежена, то - особлива точка , яка усувається.

Доведення теореми див. [1, с.212], [2, с. 289].

Нехай аналітична в деякому околі нескінченно віддаленої точки . Припустимо, що при цьому , перейде в . Функція аналітична в околі . Нехай розклад в ряд Лорана в околі має вигляд . Повертаючись до змінної , маємо

1. Якщо в отриманому розкладі немає членів з додатними степенями, то - особлива точка, яка усувається.

2. Якщо в розкладі скінчене число членів з додатними степенями, то - полюс.

3. Якщо в розкладі нескінчене число членів з додатними степенями, то - істотно особлива точка.

Приклад. .

Розв’язання:

- аналітична, крім перша чудова границя. Таким чином, - особлива точка, яка усувається.

Дата добавления: 2015-06-04