Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Оцінка коефіцієнтів степеневого ряду




Розкладання функції в ряд Тейлора.

Основна теорема алгебри

Цілі функції. Теорема Ліувіля.

Означення: Аналітична на всій комплексній площині функція називається цілою функцією.

Теорема (Ліувіля). Нехай - ціла функція, а її модуль обмежений, тоді ця функція – константа.

Доведення [3, с.173], [2, с.225].

Приклад. - ціла функція і , отже - необмежений, тобто існує z такий, що .

Застосування теореми Ліувіля є основною теоремою алгебри:

Всякий многочлен має хоча б один нуль.

Доведення слідує з того, що якщо нулів немає, то функція має обмежений модуль і є цілою, не буде константою. Це протиречить теоремі Ліувіля. Отже, припущення щодо відсутності нуля – невірне.

 


Теорема. Функція , аналітична в середині кола розкладається в цьому колі в степеневий ряд:

.

Коефіцієнти визначаються по формулі або , де l - будь-який кусочно-гладкий замкнений контур, який повністю належить колу та знаходиться навколо точки . Ряд визначений однозначно.

Доведення теореми див. [2, с.225], [1,с.64].

Нехай аналітична в колі . Приймемо за - будь-яка окружність з центром в точці , що цілком лежить в колі , і через - максимум модуля на колі , тоді для коефіцієнтів ряду Тейлора вірна оцінка

,

які носять назву нерівність Коші.

Приклад. Розкласти в ряд для .

Розв’язання.

Вправи.

Розкласти в ряд Тейлора в =0 функції:

 




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2015-06-04; Просмотров: 399; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.011 сек.