Формула Коші. Принцип максимума модуля

Теорема. Нехай функція – аналітична в однозв’язній області D. Тоді для будь-якої точки і для будь-якого замкнутого кусково-гладкого контуру , який цілком лежить в області та містить точку всередині себе, виконується рівність

,

де інтегрування виконується у додатному напрямку замкнутого контуру .

Доведення: див. [2, с.215], [1, с.46], [3, с. 169].

Наслідок: нехай - коло радіусу R з центром , тоді використовуючи формули Коші можна отримати теорему, яка уточнює відому теорему Вейєрштрасса у випадку аналітичної функції.

Теорема. (принцип максимуму модуля аналітичної функції) Нехай функція , тотожно не рівна постійній, є аналітичною в області D і є неперервною в замкненій області . Тоді максимальне значення досягається тільки на границі області .

Доведення стор.220, 201 [3], 49[1].

Крім цього, має місце теорема:

Нехай аналітична в області та неперервна в . Тоді у внутрішніх точках області існує похідна будь-якого порядку, причому має місце наступна формула ,

де Г- границя області .

Доведення див. [2, с. 222-223].

Приклад: Знайти , .

Розв’язання:

Розглянемо функцію , тоді інтеграл по формулі Коші ( знаходиться в середині контуру ) дорівнює .

Вправи.

Обчислити

Дата добавления: 2015-06-04