Невизначений інтеграл. Формула ньютона-лейбніца

Нехай функція аналітична в області D, тоді розглянемо функцію – інтеграл не залежить від шляху інтегрування, який з’єднує точки z та (в силу теореми Коші).

Теорема. Нехай визначена та неперервна у однозв’язній області D, а інтеграл від неї по будь-якому замкнутому контуру D дорівнює нулю, тоді

(z, ) є аналітичною функцією в D та .

Доведення: див. [1, с.44].

Помітимо, що для аналітичної умови теореми виконані.

Зауваження: в умовах теореми – первісна до функції , тоді в силу теореми не важко отримати формулу типу Ньютона-Лейбніца.

У межах умов, вказаних у теремі справедлива формула

= ,

де - довільна первісна функції на області D.

Приклад: обчислити

Розв’язання. Оскільки – аналітична на всій площині z, а – первісна, то

= .

Вправи

Обчислити:

1) , AB – шлях, який з’єднує точки ;

2) ;

3) - еліпс ;

4) АВ з’єднує точки 1, і;

5) – еліпс ;

6) – коло ;

7) АВ – з’єднує точки ;

8) ;

9) ;

10 , .

Дата добавления: 2015-06-04