Логарифмічна функція. Точка розгалудження

Означення: функція, обернена до функції , називається логарифмічною та позначається . Змінюючи позначення, можна записати .

З означення:

1) ;

2) крім того , тобто , значить , . Таким чином, кожному z відповідає нескінченно багато значень , тобто .

Функції називаються вітками багатозначної функції . Кожна вітка виконує конформне відображення k –го листа поверхні Римана показникової функції на відповідну смугу комплексної площини, на якій визначена показникова функція.

Нехай С – замкнута крива в площині z, яка не містить всередині себе точки z=0, тоді якщо z пробігає криву С , опише замкнуту криву у площині .

Якщо замкнута крива С містить всередині себе точку z=0, то при обході точки z кривої С її аргумент міняється з на + та значить значення при обході z навколо кривої зміниться на , тобто від вітки ми перейдемо до при обході z навколо точки z=0. Тоді z=0 називається точкою розгалуження. Такі самі дії можна провести і для точки z= .

Враховуючи взаємно-однозначність відображення віток та, те, що отримали, то вітки виконують конформні відображення.

Приклад: знайти .

Розв’язання = :

Вправи

Знайти значення:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) )

У що перетворюються при відображенні

6) ;

7) ;

8) ;

9) сектор , ;

10) спіраль .

Дата добавления: 2015-06-04