Принцип детального равновесия Коэффициенты Эйнштейна. Формула Планка

А). Принцип детального равновесия

Если между двумя состояниями возможен переход в одном направлении, то он возможен и в обратном направлении, а вероятности этих пе­реходов оказываются одинаковыми. Принцип равенства вероятностей переходов в прямом и об­ратном направлении носит название принципа де­тального равновесия. Принцип указывает на то, что в состоянии термодинамического равновесия вещества и электромаг­нитного поля должно быть равновесие между процессами испускания и поглощения света.

Б).Коэффициенты Эйнштейна

Если атом в некоторый момент вре­мени t находится в квантовом состоянии п и обладает энергией W_n, то под действием внутренних воздействий атом может самопроизвольно перейти в некоторое состояние т, характеризуемое меньшей энергией W_m.

Введем вероятность А_mn того, что в течение 1 сек осуществляется самопроизвольный переход атома из состояния n в состояние m. Величина А_mn называется коэффициентом Эйнштейна для спонтанного излучения.

Если N_n есть число атомов, находящихся на энергетическом уровне W _n в момент времени t, то число — dN_n атомов, перешедших за промежуток времени от t до t+dt в состояние m, пропорционально вероятности А_mn спонтанного перехода, числу атомов и промежутку времени dt:

Вероятность вынужденного испускания под действием поля пропор­циональна спектральной плотности энергии поля ρ(ν) и некоторому коэффициенту В_пт, который называется коэффициентом Эйнштейна для вынужденного (индуцированного) излучения. Эту вероятность записывают в форме B_nmρ(v).

В). Формула Планка (вывод с помощью принципа детального равновесия).

Полная вероятность того, что возбужденный атомза единицу времени перейдет спонтанно или вынужденно с уровня п на низший уровень т с испу­сканием фотона hv, выразится суммой . Число dN'_n атомов, которые из общего числа N_n ато­мов на уровне п перейдут в состояние т за время dt, равно:

С другой стороны, взаимодействие с электромагнитным полем атомов, находящихся на уровне т, может привести к тому, что атом, поглощая фотон с энергией

hv=W_n-W_n, перейдет в более высокое состояние п. Вероятность того, что за 1 сек произойдет акт поглощенияпо аналогии с предыдущим равна B_nmρ(v), здесь В_тп -коэффициент Эйнштейна для поглощения света. Число актов dN'_m возбуждения атомов за время dt равно:

где N_m- число атомов, находящихся на уровне т в момент времени t. Согласно принципу де­тального равновесия:

(14-3)

Такое равновесие устанавливается в замкнутой полости, темпера­тура Т стенок которой поддерживается постоянной. Равновесие, возникающее в результате излучения и поглощения волн атомами стенки, приводит к формуле Планка.

Подставим в (14-3) распределение Больцмана:

И выразим из (14-3) спектральную плотность:

.

Из условия ρ→∞ при T →∞ получим B_nm=B_mn.

Далее, используя выражения для ρ при низких (ф-ла Рэлея-Джинса) и высоких частотах (ф-ла Вина), окончательно получим формулу Планка для спектральной плотности излучения.

Дата добавления: 2015-06-04