КАТЕГОРИИ:
Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)
Пределение усилий в стержнях фермы 1 страница
|
|
|
|
Вопрос 6. Предвыборная агитация.
Следующая лекция.
Три основных способа:
Способ вырезания узлов заключается в том, что для определения усилий во всех стержнях фермы необходимо вырезать последовательно узлы фермы и, рассматривая равновесие узлов, определить усилия в стержнях, сходящихся в рассматриваемом узле. При этом нужно начинать вырезать узел, в котором сходятся только два стержня, а далее последовательно вырезаются узлы, в которых сходятся не более двух стержней с неизвестными усилиями.
Метод Риттера заключается в том, что ферма мысленно рассекается на две части. Рассматривая условия равновесия какой-либо отсеченной части и составляя соответствующие уравнения, мы можем определить неизвестные усилия во всех перерезанных стержнях, если их число равно трем (по числу уравнений равновесия, которые можно составить для плоской системы сил). Эти уравнения желательно составить таким образом, чтобы в каждое из них входило только одно неизвестное усилие в стержне. Таким уравнением оказывается в различных случаях либо уравнение моментов относительно определенной точки (способ «моментной точки»), либо уравнение проекции на какую-либо ось («способ проекций»).
Способ проекций, как правило, применяется при расчете ферм с параллельными поясами.
2). Если в узле сходятся три стержня, два из которых лежат на одной прямой, а третий примыкает к ним под некоторым углом, а внешних сил к узлу не приложено, то усилие в примыкающем третьем стержне равно нулю.
Частный случай второго признака:
Если в узле сходятся три стержня, два из которых лежат на одной прямой, а третий примыкает к ним под некоторым углом, и по направлению третьего стержня к узлу приложена сила, то усилие в примыкающем третьем стержне равно приложенной к узлу силе.
Графический метод определения усилий в стержнях фермы – построение диаграммы Максвелла-Кремоны.
Сущность графического метода определения усилий в стержнях фермы состоит в построении силового многоугольника для каждого из узлов ферм.
Порядок определения усилий в ферме графическим способом с помощью построения диаграммы Максвелла-Кремоны:
1. Вычерчиваем ферму в строгом соответствии с масштабом длин.
2. Определяем величину и направление опорных реакций аналитическим или графическим способом.
3. Нумеруем поля расчетной схемы: - внешние поля - заглавными буквами латинского алфавита; внутренние поля - арабскими цифрами.
4. Строим в масштабе сил многоугольник внешних сил, действующих на ферму, обходя ферму по часовой стрелке. Сипы обозначаем соответствующими полями, примыкающими к данной силе.
5. Строим диаграмму усилий для стержней фермы, для чего:
а) обходим по часовой стрелке узел, в котором сходится два стержня и строим силовой многоугольник для этого узла. Усилия в стержнях нумеруем соответствующими полями. Построение следует начинать с известных сил и наносить все силы в том порядке, в каком они встречаются при обходе данного узла по ходу части стрелки.
б) переходим к следующему узлу, в котором сходится не более 2-х стержней с неизвестными усилиями и повторяем предыдущее построение, и т.д.
6. Контролем правильности построения является параллельность последнего стержня на ферме последнему соответствующему отрезку на диаграмме.
7. Определяем усилие в стержнях фермы. Для этого измеряем отрезки, соответствующие стержням фермы на диаграмме и в соответствии с масштабом сил вычисляем величину усилия.
8. Определяем знаки усилий в стержнях фермы. При определении знака усилия читаем наименование стержня, обходя узел по часовой стрелке (1-2).
В такой же последовательности (допустим 1-2) читаем наименование усилия на диаграмме усилий. Направление чтения определит направление действующего
усилия: к узлу (–), от узла (+).
9. Все полученные данные о величине и знаке усилия в стержнях сводятся в таблицу.
10. Производим сравнение результатов аналитического и графического расчетов и вычисляем погрешность производимых расчетов.
Как известно, перемещения стержня могут быть выражены через угловые и поступательные перемещения его концов (a, b, Dа, Db) и нагрузку (рис. 7, а). Действительно, помещая начало координат в точке а 1, можно, например, составить уравнение оси изогнутого стержня по методу начальных параметров. Неизвестные начальные параметры М0 и Q0 определяются условиями на правом конце стержня, где
и
Если составлено уравнение оси изогнутого прямого стержня, то последовательным его дифференцированием можно определить изгибающие моменты 
и поперечные силы 
, а затем и продольные силы. Перемещения концов стержня определяются перемещениями узлов системы, к которым он примыкает, поэтому необходимо знать их угловые и поступательные перемещения. Эти угловые и поступательные перемещения узлов системы и являются основными неизвестными метода перемещений. В соответствии с основными неизвестными метода перемещений вводимые в основную систему связи должны быть двух видов: моментная (угловая) связь, накладываемая на узел, препятствующая только его повороту и способная создавать только реактивный момент; два варианта символического изображения такой связи показаны на рис. 7, б; силовая (поступательная) связь, накладываемая на систему, препятствующая только поступательному перемещению узлов и способная создавать только реактивную силу по направлению этой связи (см. рис. 7, в). Моментные связи обычно накладываются на все жесткие узлы системы, а силовые — там, где есть независимые поступательные перемещения узлов (рис. 8, а, б). Полученная таким образом система называется основной системой с полным числом связей. Она состоит из стандартных элементов: балок, защемленных двумя концами, и балок, защемленных одним и шарнирно опертым другим концом. Эти стандартные балки должны быть предварительно изучены на действие нагрузки и смещений их концов. Из сказанного следует, что основная cuстема метода перемещений с полным числом связей может быть, по существу, получена единственным образом.
Основную систему метода перемещений, представляющую собой заданную систему с наложенными на неё связями, препятствующими повороту и смещению узлов, можно назвать кинематически определимой; общее же число неизвестных метода перемещений следует называть степенью кинематической неопределимости системы.
Для получения канонических уравнений метода перемещений переместим каждую наложенную связь основной системы, т. е. моментную повернем на соответствующий угол поворота заданной системы, а силовую сместим поступательно на величину этого перемещения в заданной системе. Эти перемещения обозначим Z1, Z2,..., Zn. Напишем выражения реакций наложенных связей, возникающих от перемещений связей и нагрузки. Рассмотрим какую-нибудь связь k. Ее реакция Rk (z1, z2,..., zn, Р) есть функция перемещений Z1, Z2,..., Zn и нагрузки Р. Эта реакция должна быть равна нулю, поскольку в заданной системе этой связи нет. Только тогда основная система с наложенными связями будет эквивалентна заданной системе, не имеющей этих связей. Следовательно,
| (2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 8. Получение основной системы метода перемещений с полным числом связей
Полагая k = l, 2,.... n, получим необходимое число уравнений
| (3) |
Уравнения (3) являются основными уравнениями метода перемещений и справедливы при любых стадиях работы сооружения и одинаково применимы для систем, подчиняющихся принципу независимости действия сил и не подчиняющихся ему.
Отметим, что метод сил применим для расчета любых систем, а метод перемещений—преимущественно для расчета рам и неразрезных балок.
 |
Равновесие считают устойчивым, если за счет сил упругости после снятия внешней отклоняющей силы стержень восстановит первоначальную форму. Если упругое тело после отклонения от равновесного положения не возвращается к исходному состоянию, то говорят, что произошла потеря устойчивости, а равновесие было неустойчивым. Потерю устойчивости под действием центрально приложенной продольной сжимающей силы называют продольным изгибом.
На устойчивость равновесия влияет величина сжимающей силы. Наибольшее значение сжимающей силы, при которой прямолинейная форма стержня сохраняет устойчивость, называют критической силой. Даже при небольшом превышении критического значения силы стержень недопустимо деформируется и разрушается.
Расчет на устойчивость
Расчет на устойчивость заключается в определении допускаемой сжимающей силы и в сравнении с ней силы действующей: 
; 
; 
,
где F — действующая сжимающая сила;
[F] — допускаемая сжимающая сила, обеспечивает некоторый запас устойчивости;
Fкр — критическая сила;
[sy] — допускаемый коэффициент запаса устойчивости.
Обычно для сталей [sy] = l,8 ÷ 3; для чугуна [sy] = 5; для дерева [Sy] ≈ 2,8.
Определения критической силы:
Расчет по формуле Эйлера
Для шарнирно закрепленного с обеих сторон стержня формула Эйлера имеет вид
 ,
где Е – модуль упругости;
Jmin – минимальный осевой момент инерции стержня;
l – длина стержня.
Потеря устойчивости происходит в плоскости наименьшей жесткости, поэтому в формулу входит минимальный из осевых моментов инерции сечения (Jx или Jy).
Формулу распространили на другие формы закрепления стержней, рассмотрев форму потери устойчивости в каждом случае.
| 
|
Длина стержня заменяется ее приведенным значением, учитывающим форму потери устойчивости в каждом случае: lприв = μд, где μ — коэффициент приведения длины, зависящий от способа закрепления стержня (рис. 36.3).
Формула для расчета критической силы для всех случаев
.
Критические напряжения.
Критическое напряжение — напряжение сжатия, соответствующее критической силе.
Напряжение от сжимающей силы определяется по формуле
,
где σкр — напряжение сжатия, при котором стержень еще устойчив. Корень квадратный из отношения минимального момента инерции сечения к площади поперечного сечения принято называть минимальным радиусом инерции imin:
; 
.
Тогда формула для расчета критического напряжения перепишется в виде
.
Отношение μl /imin носит название гибкости стержня λ.
Гибкость стержня — величина безразмерная, чем больше гибкость, тем меньше напряжение:
Заметим, что гибкость не зависит от материала, а определяется только геометрией стержня.
Пределы применимости формулы Эйлера
Формула Эйлера выполняется только в пределах упругих деформаций.
Таким образом, критическое напряжение должно быть меньше предела упругости материала.
Предел упругости при расчетах можно заменять пределом пропорциональности. Таким образом, σкр ≤ σу ≈ σпц, где σу — предел упругости; σпц — предел пропорциональности материала;
. Откуда гибкость стержня: 
;
- предельная гибкость.
Предельная гибкость зависит от материала стержня.
В случае, если λ < λпред в материале стержня возникают остаточные деформации. Поскольку в реальных конструкциях могут возникать пластические деформации, не приводящие к потере работоспособности, созданы эмпирические формулы для расчетов в этих случаях.
Расчет критического напряжения по формуле Ф. О. Ясинского для стальных стержней
Критическое напряжение определяется по формуле σкр = а — bλ. где а и b — коэффициенты, зависящие от материала.
При рассмотрении вопросов устойчивости рам так же, как и других систем, необходимо различать два типа задач:
потеря устойчивости 1-го рода (потери устойчивости в Эйлеровском смысле) и
потеря устойчивости 2-го рода (потеря несущей способности сжатоизогнутой рамы).
Постановка задачи и схема решения при расчете на устойчивость l-го рода
Для исследования устойчивости рамы принимаются следующие допущения:
1. Рассматривается только узловая нагрузка, не вызывающая поперечного изгиба стержней рамы.
2. Стержни считаются нерастяжимыми и несжимаемыми.
3. Изменением расстояния между концами стержня, которое получается благодаря его изгибу, пренебрегаем.
4. При работе учитываются нормальные силы, возникающие до потери устойчивости. Влияние приращений нормальных сил ΔN, возникающих в момент потери устойчивости, не учитывается.
5. При определении поперечных сил в изогнутых стержнях не учитывается изменение угла наклона сечения за счет изгиба стержня.
В расчетах на устойчивость для большинства типов рам метод перемещений требует более простых и менее трудоемких вычислений, чем метод сил.
Как показано, расчет рам на устойчивость l-го рода методом перемещений сводится к составлению системы однородных канонических уравнений этого метода и приравниванию нулю определителя, составленного из коэффициентов при неизвестных. Для облегчения определения коэфицентов типа rik и Rip(последние будут нужны при деформационном расчете) при наличии продольной силы в стержне однопролетные балки различных типов рассчитаны заранее при помощи формул на различные виды воздействий.
Таким образом получена таблица реакций сжатоизогнутых стержней от единичных перемещений и нагрузок которой и надлежит пользоваться при практических расчетах.
ПРИМЕР:
Требуется найти Ркр для рамы, показанной на рисунке а. Основная система метода перемещений и эпюра изгибающих моментов от единичного поворота узла 1, показаны на рисунке б.
При построении эпюры продольная сила в ригеле (в соответсвии с принятым выше допущением) считалось равным нулю, продольная сила в стойке равна Р. Каноническое уравнение метода перемещений имеет вид: r11z1=0. Так как мы ищем олько нагрузку, соттветсвующую изогнутому равновесному состоянию рамы, то z1 ≠0. Следовательно
Откуда EI1(φ2(𝑣)+2)=0 и φ2(𝑣)=-2.
По таблице значений φ2(𝑣)=-2 находим по интерполяции 𝑣=5,66. Критическая нагрузка 
. Коэфицент свободной длины стойки может быть найден при приравнивании полученного значения критической силы критической силе по формуле Эйлера:
откуда 
В нашем случае 
, т.е. стойка работает в условиях, близких к полному защемлению верхнего конца (как и следовало ожидать, ввиду большой жесткости ригеля).
Расчетная длина стойки l0=𝛍l=0.555·4=2.22м является исходной величиной для нахождения коэфицента продольного изгиба φ в зависимости от расчетной гибкости и материала стержня по таблицам из соответствующих СНиП.
Система с одной степенью свободы
Система с двумя степенями свободы
В конечном итоге любая система является статической с бесконечным числом степенями свободы. Расчет таких систем весьма затруднителен и конструкторы самостоятельно определяют степень свободы системы руководствуясь необходимой точностью расчета.
Свободные колебания систем с 1-ой степенью свободы без затухания.
Свободными колебаниями называются такие колебания, которые совершает система после прекращения действия нагрузки.
Рассмотрим систему, совершающую колебания в момент времени t.
x(t) – инерционная сила
Где δ11 – это перемещение массы.
Подставляем значения инерционной силы. 
Преобразовываем это уравнение. 
Обозначаем 
Это дифференциальное уравнение второго порядка его решение будет представлять собой сумму решений однородного уравнения 
и частное решение полного уравнения. При этом однородное уравнение представляет собой уравнение свободных колебаний, частное решение уравнения вынужденных колебаний.
Интеграл однородного уравнения. 
А1 и А2 – постоянные, которые определяются из граничных условий.
В момент времени t=0 
у0 – начальное перемещение системы
|
|
|
|
|
Дата добавления: 2015-06-30; Просмотров: 944; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!