Системы линейных алгебраических уравнений

Столбцами матрицы являются собственные вектора матрицы.

Приведение квадратной матрицы к диагональному виду

Диагональная матрица – квадратная матрица, все недиагональные элементы которой равны нулю.

Определитель диагональной матрицы равен произведению всех элементов диагонали.

Не любая матрица может быть приведена к диагональному виду. Достаточным условием является различность всех собственных значений матрицы.

Привести матрицу к диагональному виду – подобрать диагональную матрицу и невырожденную матрицу , так что

.

Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) относительно n неизвестных x₁, x₂,..., x_n:

Эта система в "свернутом" виде может быть записана так:

, i=1,2,..., n.

В соответствии с правилом умножения матриц рассмотренная система линейных уравнений может быть записана в матричной форме Ax=b, где

, , .

Матрица A, столбцами которой являются коэффициенты при соответствующих неизвестных, а строками – коэффициенты при неизвестных в соответствующем уравнении называется матрицей системы. Матрица-столбец b, элементами которой являются правые части уравнений системы, называется матрицей правой части или просто правой частью системы. Матрица-столбец x, элементы которой – искомые неизвестные, называется решением системы.

Система линейных алгебраических уравнений, записанная в виде Ax=b, является матричным уравнением.

Матрица, получаемая при сцеплении матрицы системы и правой части, называется расширенной матрицей. Размер расширенной матрицы равен .

СЛАУ называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если у неё нет ни одного решения.

СЛАУ совместна тогда и только тогда, когда ранг её основной матрицы равен рангу её расширенной матрицы, причём система имеет единственное решение, если ранг равен числу неизвестных, и бесконечное множество решений, если ранг меньше числа неизвестных.

Рангом системы строк (столбцов) матрицы А называется максимальное число линейно независимых строк (столбцов). Несколько строк (столбцов) называются линейно независимыми, если ни одна из них не выражается линейно через другие. Ранг системы строк всегда равен рангу системы столбцов и это число называется рангом матрицы.

Вырожденной или сингулярной называют квадратную матрицу, определитель которой равен нулю.

Невырожденная матрица – квадратная матрица, определитель которой отличен от нуля. В противном случае она называется вырожденной.

Для квадратной матрицы М невырожденность эквивалентна каждому из следующих условий:

· M обратима, то есть существует обратная матрица;

· строки (столбцы) матрицы M линейно независимы;

· элементарными преобразованиями строк (столбцов) матрицу M можно привести к единичной матрице;

· ранг матрицы равен её размерности.

Функция r = rank(A) возвращает ранг матрицы (если ранг системы полный, то система невырождена)

Функция d = det(A) вычисляет определитель квадратной матрицы; если матрица A целочисленная, то результатом является также целое число.

Обратной к квадратной невырожденной матрице называется такая матрица , которая при умножении на справа и слева дает в результате единичную матрицу. Встроенная функция inv обращает матрицу, ее входным аргументом является исходная матрица, а выходным – обратная.

Задание 1.

1. Приведите СЛАУ из табл. 1 к матричному виду.

2. Найдите собственные числа и собственные вектора матрицы системы A. Убедитесь, что собственные числа и соответствующие собственные вектора найдены верно, воспользовавшись определением собственных векторов и собственных чисел.

3. Если собственные числа матрицы системы различны, приведите ее к диагональному виду. Покажите, что определитель диагональной матрицы равен произведению всех элементов главной диагонали.

Табл. 1. Варианты к заданиям 1 и 2.

№ варианта	Система линейных уравнений	№ варианта	Система линейных уравнений

Дата добавления: 2015-07-02