Алгоритм

Ортогонализация Грамма-Шмидта

Процесс Грама-Шмидта – алгоритм ортогонализации, при котором по линейно независимой системе строится ортогональная система такая, что каждый вектор линейно выражается через .

Полагают и, если уже построены векторы , то

,

– скалярное произведение векторов и .

Геометрический смысл описанного процесса состоит в том, что на каждом шаге вектор является перпендикуляром, восстановленным к линейной оболочке векторов до конца вектора .

Нормируя полученные векторы :

получают искомую ортонормированную систему .

Задание 2.

1. Составьте структурную схему процесса ортогонализации Грамма-Шмидта для векторов произвольной размерности.

2. Напишите функцию, реализующую процесс ортогонализацию Грамма-Шмидта.

3. Считая, что строками матрицы системы являются вектора, проверьте, являются ли они линейно независимыми.

Пример. Рассмотрим матрицу

Строки матрицы можно рассматривать как вектора:

4. Проведите ортогонализацию векторов с помощью функции, написанной в задании 2.

5. Убедитесь, что полученная система векторов является ортогональной.

Дата добавления: 2015-07-02