Странный мир чисел

Попробуем сначала более ясно представить себе те факты, которые, по мнению Крауса, делают истинными математические утверждения. Нам известно, где искать астрономические, географические, физические или химические факты. Но где искать математические факты? Краус отвечает на этот вопрос следующим образом.

Краус: Математики часто думают о себе приблизительно так, как.они думают об астрономах. Как астроном исследует небо с помощью телескопа и открывает в нем новые необычные объекты и факты -пульсары, квазары и место Большого Взрыва, - так и математик исследует еще более высокую и тонкую область - область чисел.

Бриди: Чисел?

Краус: Да. Это очень необычная область. По-видимому, числа являются гораздо более удивительными объектами, чем даже пульсары и квазары, ибо они не являются физическими предметами.

Бриди: Ну да! Число 2 - не такая вещь, о которую можно споткнуться!

Краус: Совершенно верно. Оно нигде физически не локализовано. Тем не менее оно существует.

Бриди: Но если числа не являются физическими объектами и не локализованы в пространстве, то я не знаю, в каком смысле они существуют. Ведь реально существует только физический мир - с его физическими объектами, силами и свойствами, не так ли?

Краус: Нет, не так. Имеется реальность и помимо физической реальности.

Бриди: Что же это за странная реальность?

Краус: Область чисел является вечной. Физический мир имел начало во времени - Большой Взрыв - и когда-нибудь придет к своему концу. Но область чисел является вечной, она не имеет начала или конца во времени. 2x2 = 4 представляет собой вневременную истину: она останется истиной, даже если однажды исчезнет весь физический мир вместе со всем, что в нем находится.

Бриди: Понимаю.

Краус: Звезды и звездные системы находятся в процессе постоянного изменения. Но область чисел никогда не изменяется. И факты, относящиеся к этим необычным объектам - числам, - делают наши

математические утверждения истинными или ложными. Мое утверждение о том, что 12 х 12 = 144, истинно, поскольку точно отображает положение дел в мире чисел.

Будучи конвенционалистом, Бриди, конечно, убежден в том, что эта необычная область, в реальное существование которой верит Краус, на самом деле является иллюзией.

Бриди: Мне представляется, что эта «область чисел», изучаемая математиками, в действительности целиком является их собственным созданием. Все, что математики в действительности делают при своих вычислениях, сводится к получению следствий из определенных соглашений, которые они сами приняли для манипулирования символами (и иногда добавляют новые соглашения). Математика вместе с ее истинами целиком является нашим собственным изобретением.

Прав ли Краус? Описывают ли математики какую-то тонкую, существующую независимо от нас реальность? Или математика в конечном счете лишь плод нашей собственной изобретательности?

Почему наши ощущения не могут подтвердить математических утверждений?

Бриди считает, что способен доказать ложность реализма. Сначала он показывает, что математическое знание не опирается на опыт.

Бриди: Я могу доказать, что математик не описывает никакой «внешней реальности.

Краус: Каким образом?

Бриди: Начнем с замечания о том, что наше знание математических исто не опирается на опыт.

Краус: Я так не считаю. Опыт с несомненностью подтверждает, что 12x12=144. Я беру 12 пачек по 12 плиток в каждой, затем подсчитываю общее количество плиток и получаю 144 плитки. Разве не так?

Может показаться, что Краус прав, однако, как показывает Бриди, ситуация не столь проста.

Бриди: Я так не думаю. Допустим, ты пустил в загон 12 групп кроликов по 12 штук в каждой группе. Получится ли в загоне точно 144 кролика? Отнюдь не очевидно. Когда ты их захочешь пересчитать вновь, ты можешь обнаружить, что они размножились и их стало 150. Верно?

Краус: Да.

Бриди: Математика не говорит, что ты получишь 150 кроликов, когда будешь считать их во второй раз. Математика утверждает только одну простую вещь: если ты сосчитаешь 12 групп по 12 кроликов в каждой группе, то ты получишь 144 кролика. Математика не предсказывает, какое количество кроликов будет в загоне, когда ты их будешь пересчитывать в другой раз.

По-видимому, Бриди прав. Математика не говорит о том, что происходит, когда вы физически комбинируете вещи. Соединив вместе двух кроликов, вы можете получить больше, чем 2. Говоря о «сложении» в математике, мы не говорим о физическом соединении вещей. Например, физическое сложение 20 двухфунтовых кусков обогащенного урана-235 может не дать 40-фунтового куска, а приведет к ядерному взрыву. Мы можем также математически «складывать» вещи, находящиеся на расстоянии многих световыхлет одна от другой, например, звезды.

Бриди: Но тогда математика не может ничего сказать также и о том, сколько плиток ты получишь, когда посчитаешь их второй раз. Может появиться лишняя плитка. Некоторые из них могут исчезнуть. Они вообще все могут исчезнуть в клубах дыма. Математика ничего не говорит об этих возможностях. Поэтому тот факт, что когда ты вновь пересчитываешь плитки и получаешь 144, не подтверждает, что 12 х 12 = 144, ибо математика не говорит о том, что ты получишь или хотя бы можешь получить 144, когда сосчитаешь их во второй раз.

Опять-таки кажется, что Бриди прав. Нам не нужен опыт для того, чтобы оправдать математическое утверждение. Ко-

²⁴⁸

нечно, нам нужен опыт для того, чтобы изучить, что означают разнообразные математические символы, нам нужен опыт чтобы научиться пользоваться математическим языком. Но как только мы это усвоили, нам уже не нужен какой-то дальнейший опыт, чтобы увидеть, что утверждение «12x12= 144» истинно. Это утверждение можно подтвердить с помощью одного только разума, ограничиваясь действиями, совершаемыми «в голове». Знание такого рода — знание, не зависящее от опыта, — называют априорным знанием.

Почему математика не может быть чем-то «внешним»

Бриди продолжает развивать свою аргументацию.

Бриди: Когда истина обусловлена только соглашением, она становится вам известна, как только вы поняли нужные соглашения. Мы видели, например, что тебе не нужно проверять каждого жеребца, чтобы убедиться в том, что все жеребцы принадлежат к мужскому полу. Достаточно просто понять, что означает слово «жеребец».

Краус: Верно.

Бриди: Но когда истинность высказывания обусловлена не соглашением, а фактом, то ты, очевидно, должен проверить наличие этого факта для того, чтобы обосновать истинность данного высказывания. Поэтому, например, тебе нужно обратиться к реальности, чтобы установить, действительно ли все жеребцы имеют уши.

Краус: Опять-таки верно.

Бриди: Однако математический реалист, такой как ты, считает, что истинность математических утверждений обусловлена не соглашениями, а математическими фактами, существующими «вне» и независимо от нас в той области, которую ты называешь «миром чисел». Тогда встает вопрос: если это так, то как мы узнаем об этих фактах!

Краус: Я не вполне тебя понимаю.

Бриди: Если ты считаешь, что, совершая математические вычисления, мы отображаем какую-то независимую от нас реальность, находящуюся «вне нас», то как мы узнаем о свойствах этой реальности? Бла-

годаря какой таинственной способности этот странный мир открывается нам?

Краус: Я все еще не вижу здесь проблемы.

Бриди: Нухорошо. Вот я - ученый. Когда я хочу узнать, как обстоят дела во «внешнем» мире, я обращаюсь к показаниям моих пяти органов чувств. Мы исследуем окружающий мир посредством зрения, слуха, обоняния, осязания и даже вкуса. Конечно, для того, чтобы помочь нашим органам чувств, мы пользуемся также инструментами, скажем, телескопами и микроскопами.

Краус: Да, я знаю.

Бриди: Во внешнем мире существуют астрономические, географические, физические и химические факты, которые мы можем открыть. Ты утверждаешь, что существует также область математических фактов.

Краус: Правильно, существует.

Бриди: Но тогда как математики устанавливают эти факты? Какими органами чувств они при этом пользуются?

На этот вопрос чрезвычайно трудно ответить. Как отметил Бриди, астроном устанавливает астрономические факты посредством наблюдения, привлекая на помощь органам чувств телескопы и другие инструменты. Но как математик устанавливает факты, относящиеся к миру чисел?

Можно было бы предположить, что математик получает знание приблизительно также, как астроном, — используя свои органы чувств. И как наблюдение способно обнаружить, что Земля вращается вокруг Солнца, так оно способно установить, что 12 х 12 = 144.

Однако мы уже убедились в том, что математическое знание не опирается на опыт. То, что 12x12= 144, известно a priori. Это то, что может быть установлено без обращения к чему-то внешнему.

Но если это так, то реалист сталкивается с проблемой. По-видимому, наши пять органов чувств являются единственным средством выхода во внешний мир. Посредством Наблюдения* мы устанавливаем астрономические, физичес-

* Под «наблюдением» здесь имеется в виду любое чувственное восприятие. — Примеч. пер.

кие, географические и химические факты. Но если математические факты также являются частью этой независимой от нас реальности и если наши органы чувств не способны помочь нам открыть эти факты, то как мы получаем о них знание?

Короче говоря, реалисту очень трудно объяснить, как возможно математическое знание.

Дата добавления: 2015-07-02