Достаточные условия сходимости ряда Фурье

Ряды Фурье по тригонометрическим системам функций.

Возьмём в качестве ортогональной систему функций (63). Тогда разложение некоторой функции определённой на промежутке [-l,l] функции f(x) будет:

(71)

Удобнее обозначить коэффициенты иначе и записать:

(72)

Коэффициенты (72) можно найти по (70):

;

(73)

(74)

Замечание. Каждый член ряда (72), а следовательно, и его сумма, имеют период 2l. Если ряд сходится к f(x) то, хотя сама функция f(x) может быть задана (определена) только на промежутке [-l,l], сумма ряда периодически продолжает её на всю числовую ось с периодом 2l.

Т1. Теорема Дирихле. Если функция f(x) удовлетворяет на отрезке [-l,l] следующим условиям (условия Дирихле):

а) имеет конечное число экстремумов;

б) непрерывна, за исключением конечного числа точек разрыва первого рода,

то ряд Фурье этой функции сходится на всём отрезке [-l, l], а на любом отрезке, который принадлежит интервалу непрерывности функции f(x), сходится равномерно.

Сумма этого ряда равна:

а) f(x) во всех точках непрерывности f(x), лежащих в (-l,l);

б) - во всех точках разрыва f(x);

в) - на концах отрезка [-l,l], то есть при x=-l и x=l.

Дата добавления: 2015-07-02