Разложение в ряд Фурье непериодической функции

Разложение в ряд Фурье периодической функции

Если функция f(x) на отрезке [-l,l] удовлетворяет условиям Дирихле, то её ряд Фурье

(75)

даёт периодическое продолжение функции f(x) на всю числовую ось, хотя сама функция может не быть периодической.

1) если f(x) периодическая и её период 2l, то коэффициенты можно вычислять, интегрируя по любому интервалу длиной 2l:

(76)

(77)

2) если f(x) нечётная, то подынтегральные в (73) и (74) функции:

-нечётная, а - чётная, и, следовательно,

; . (78)

3) если f(x) чётная, то

-чётная, а - нечётная, и, следовательно

; . (79)

Таким образом, ряд Фурье нечётной функции содержит только члены с «синусами»,

а ряд Фурье чётной функции содержит только члены с «косинусами».

Замечание. Формулы (78), (79) могут быть получены также, если нечётную функцию разложить по системе (65) («по синусам»), а чётную функцию по системе (65) («по косинусам»).

Если f(x) задана на отрезке [a,b], то чтобы представить её в виде ряда Фурье достаточно ввести некоторую периодическую кусочно-непрерывную функцию g(x) с периодом 2l ≥ (b-a), совпадающую с f(x) на [a,b], а затем разложить её в ряд.

Заметим, что g(x) для данной f(x) может быть введено различными способами. Тогда и разложения f(x) будут различными. Вообще говоря, число способов разложения бесконечно.

Если f(x) задана на отрезке [0,l], то можно разложить её либо по системе (65) («по синусам»), либо по системе (65) («по косинусам»), что равносильно доопределению функции на [-l,l] нечётным или чётным способом. При практическом выборе системы функций (способа доопределения) следует учитывть как ведёт себя сумма ряда для доопределённой функции в точках непрерывности, точках разрыва и на концах отрезка определения (см. 8.16, Т1).

Дата добавления: 2015-07-02