Фильтры и их основные параметры

ВВЕДЕНИЕ

Электронные фильтры

Методические указания по курсовому проектированию для студентов, обучающихся по направлению 5515. Составитель И. П. Ефимов

Корректор Ю. Кретова

Подписано в печать 30.04.99. Формат 60х84/16. Бумага писчая.

Усл. печ. л. 1,80. Уч. Изд. л. 1,80.Тираж 100 экз.

Заказ

Ульяновский государственный технический университет, 432027,

Ульяновск, ул. Северный Венец, 32.

Типография УлГТУ, 432027, Ульяновск, ул. Северный Венец, 32.

В процессе разработки электронных устройств часто необходимо обеспечивать фильтрацию аналоговых сигналов. Это достигается за счет введения в схему устройства пассивных и активных фильтров, решающих задачи преобразования спектра сигнала.

Проектирование фильтров представляет собой формализованный процесс. В настоящих методических указаниях рассматривается табличный метод расчета, заключающийся в том, что по требуемой характеристике устройства из типовых звеньев составляется принципиальная схема, для которой из справочных таблиц берутся номиналы электрорадиоэлементов. Дальнейшая задача разработки заключается в масштабировании номинальных значений элементов схемы по частоте и импедансам источника входного сигнала и нагрузки.

Приведенные методики расчета и справочные данные достаточны для синтеза фильтров в рамках выполнения курсового проекта по дисциплине «Электроника» студентами направления 5515 «Приборостроение».

Фильтром называется устройство, устанавливаемое между выводами электрической цепи с целью изменения соотношения между частотными составляющими, проходящего через него сигнала.

В зависимости от формы амплитудно-частотной характеристики (АЧХ) различают четыре основных класса фильтров (рис. 1.1):

1) фильтр нижних частот (ФНЧ), см. рис.1.1а;

2) фильтр верхних частот (ФВЧ), см. рис.1.1б;

3) полосовой фильтр (ПФ), см. рис.1.1в;

4) режекторный фильтр (РФ), см. рис.1.1г.

1.1. Основные параметры фильтров

1) Частота среза (F_C). F_C определяет границу полосы пропускания (ПП) фильтра и в реальных фильтрах обычно соответствует уровню затухания 3 ¶Б.

2) Центральная частота (F_о). Важным свойством ПФ является геометрическая симметрия его АЧХ. Это означает, что если по горизонтальной оси отложить логарифм частоты, а по вертикальной - величину затухания и построить АЧХ фильтра, то она окажется симметричной относительно некоторой центральной частоты F_о:

, (1.1)

где F_C1, F_C2 - нижняя и верхняя частоты среза.

а б

в г

Рис 1.1. АЧХ типовых фильтров:

а) ФНЧ - фильтр низких частот,

б) ФВЧ - фильтр высоких частот,

в) ПФ - полосовой фильтр,

г) РФ - режекторный фильтр

Для узкополосных фильтров (F_C2 / F_C1 < 1,5):

(1.2)

3) Граничная частота полосы задержания (F_З). Между ПП и полосой задержания (ПЗ) располагается переходная область. F_З - это такая частота в этой зоне, для которой задается гарантированный уровень затухания спектральных составляющих сигнала.

4) Добротность (Q). Определяется как отношение F₀ ПФ к ширине

его ПП:

(1.3)

Альтернативным показателем является относительная ширина ПП, определяемая соотношением:

(1.4)

5) Коэффициент формы КФ. Для ПФ К_Ф определяется отношением ширины ПЗ к ширине ПП. При этом ширина ПЗ измеряется на уровне гарантированного затухания, который задается в качестве исходного при расчете фильтров и обычно составляет 40 ¶Б.

2. ВЫБОР СЕМЕЙСТВА ХАРАКТЕРИСТИК ФИЛЬТРОВ

С целью унификации процесса расчета фильтров различного класса существует единая методика, в соответствии с которой первым этапом синтеза фильтра является нормирование исходных данных для его расчета.

2.1. Нормирование исходных данных для расчета фильтров

Правило нормировки требует, чтобы все АЧХ ФНЧ пересекали уровень затухания 3 дБ на нормированной частоте w= 1 рад. Такой фильтр и его АЧХ называются нормированными к 1 рад. Поэтому общим элементом расчета любого фильтра является, в первую очередь, преобразование его исходных данных к виду, позволяющему воспользоваться нормированными АЧХ ФНЧ. Это достигается с помощью нормирования исходных данных, характеризующих АЧХ искомого фильтра к 1 радиану. Далее производится сравнение полученной нормированной АЧХ с набором кривых, описывающих нормированные ФНЧ различного порядка, и выбирается та из них, которая наилучшим образом соответствует нормированным исходным данным. Затем по таблицам, в соответствии с выбранным порядком фильтра, определяются значения параметров элементов схемы. Затем полученные значения масштабируются для того, чтобы обеспечить требуемое положение АЧХ на оси частот.

2.2. Нормирование АЧХ ФНЧ

Пример 1. Требуется ФНЧ с частотой среза 600 Гц и граничной частотой ПЗ 1800 Гц при гарантированном затухании 50 дБ. Произвести нормировку АЧХ фильтра к 1 радиану и определить, фильтр какого порядка может обеспечить выполнение заданных требований.

Решение. Вычисляем крутизну характеристики фильтра:

(2.1)

Затем по графикам нормированных кривых ФНЧ различного порядка выбираем такой фильтр, который при рассчитанной A_S обеспечивал бы гарантированное затухание в ПЗ не менее заданного.

Воспользуемся графиком (рис.2.1), на котором представлено семейство нормированных АЧХ ФНЧ различного порядка, и определим, фильтр какого порядка обеспечивает гарантированное затухание в полосе задержания 50 ¶Б при 3 рад. Как видно из рис.2.1.а, этим требованиям удовлетворяют ФНЧ не менее 5-го порядка.

2.3. Нормирование АЧХ ФВЧ

Пример 2. Требуется ФВЧ с F_C = 900 Гц, у которого на уровне гарантированного затухания 50 дБ граничная частота ПЗ равна 300 Гц. Провести нормировку АЧХ к 1 рад и определить с помощью рис.2.1а минимальный порядок фильтра, удовлетворяющий предъявленным требованиям.

Решение. Каждый нормированный ФНЧ может быть преобразован в нормированный ФВЧ, АЧХ которого также пересекает уровень 3 ¶Б при 1 рад (рис.2.1б). Оба фильтра ФНЧ (кривая 1) и ФВЧ (кривая 2) имеют идентичное затухание на взаимно обратных частотах. Так, затухание 12 ¶Б ФНЧ имеет в точке 2 рад, а преобразованный ФВЧ обеспечивает то же затухание при 0.5 рад. Поэтому крутизна АЧХ ФВЧ является величиной, обратной крутизне ФНЧ. Следовательно, для ФВЧ справедливо:

(2.2)

В нашем случае A_S = 900/300 = 3. Из рис.2.1а видно, что гарантированное затухание 50 дБ при 3 рад обеспечивает фильтр 5-го порядка.

Стандартный алгоритм расчета фильтра в качестве следующего этапа включает определение значений параметров элементов схемы (R,L,C). Для нормированного ФНЧ они помещены в справочных таблицах, что позволяет, зная порядок фильтра, легко их определить.

а б

в г

Рис. 2.1. К вопросу выбора семейств характеристик фильтров:

а) ФНЧ различных порядков,

б) взаимосвязь АЧХ фильтров низких и верхних частот,

в) взаимосвязь АЧХ полосового фильтра и ФНЧ,

г) взаимосвязь АЧХ режекторного фильтра и ФНЧ

Если, как в рассматриваемом примере, синтезируется ФВЧ, то полученная схема ФНЧ с помощью стандартной процедуры трансформируется в схему ФВЧ.

2.4. Нормирование АЧХ ПФ

ПФ делятся на две группы: узкополосные (F_C2/F_{C1 £} 1,5) и широкополосные (F_C2/F_C1 >1,5).

Пример 3. Требуется ПФ, имеющий нижнюю и верхнюю частоты среза соответственно 150 и 300 Гц и гарантированное затухание 50 ¶Б на граничных частотах полосы задержания 50 и 900 Гц. Провести нормировку АЧХ данного ПФ к 1 рад и с помощью рис.2.1а подобрать наиболее подходящий фильтр.

Решение. Данный фильтр является широкополосным (300/150=2). Широкополосный ПФ можно рассматривать как два отдельных фильтра (ФНЧ и ФВЧ), каждый со своими характеристиками. Последние затем нормируются раздельно, и в соответствии с уже рассмотренными процедурами выбирается минимальный порядок ФНЧ и ФВЧ, обеспечивающий заданные требования. Если далее выбранные фильтры соединить последовательно, то будут соблюдены общие требования к ПФ.

В нашем случае требуемый ПФ может быть составлен из двух последовательно соединенных фильтров 5-го порядка (рис.2.1а)

ФНЧ: 3 дБ на 300 Гц ФВЧ: 3 дБ на 150 Гц

50 дБ на 900 Гц 50 дБ на 50 Гц

A_S = 900/300 = 3, A_S = 150/50 = 3.

Пример 4. Требуется ПФ с F_C1=900 Гц и F_C2=1100 Гц, имеющий гарантированное затухание 50 ¶Б на граничных частотах 700 Гц и 1300 Гц. Провести нормировку АЧХ данного ПФ к 1 рад и с помощью рис.2.1,а подобрать наиболее подходящий фильтр.

Решение. Данный фильтр является узкополосным. Такие фильтры нельзя представить в виде 2-х отдельных фильтров – ФНЧ и ФВЧ. Задача синтеза такого фильтра решается использованием правила преобразования АЧХ ФНЧ в АЧХ ПФ так, чтобы ширина полосы пропускания оставалась постоянной (рис.2.1в). Как видно из рис.2.1в, соответствие между АЧХ этих фильтров состоит в том, что при одном и том же уровне затухания ширина ПП ПФ равна частоте среза ФНЧ. Так, на уровне -3 ¶Б ширина ПП ПФ равна 10 Гц - так же, как и частота среза ФНЧ. Аналогичным образом на уровне -12 ¶Б соответствующие величины равны 15 Гц.

Рассмотренное правило позволяет вести расчет узкополосных ПФ. Оно заключается в преобразовании АЧХ искомого ПФ к АЧХ ФНЧ и использовании, как это имело место выше, нормированных кривых, отображающих АЧХ ФНЧ различного порядка.

Для этого сперва определяем центральную частоту F₀ по формуле (1.1) или (1.2):

Если Fо известна, необходимо обеспечить равенство (2.1). С этой целью для уровня гарантированного затухания определяют две новых пары граничных частот ПЗ: одну, задавшись F₀ и нижней граничной частотой F_З1, а другую - F₀ и верхней граничной частотой F_З2. Для дальнейших расчетов берется та пара частот (F_З1,F_З2), которая дает меньшее значение ширины полосы задержания.

Крутизна ПФ находится следующим образом:

(2.3)

где F_З1, F_З2 - частоты выбранной пары.

После этого, используя график нормированных АЧХ ФНЧ, можно выбрать фильтр такого порядка, который обеспечивает гарантированное затухание для требуемой величины A_S.

Для рассматриваемого случая в соответствии с (1.1):

.

Определим для каждой из граничных частот ПЗ геометрически сопряженные частоты:

- первая пара

F_З1 = 700 Гц,

F_З2сопр.= 995²/700 = 1414 Гц,

F_З2сопр. - F_З1 = 1414 - 700 = 714 Гц.

- вторая пара

F_З2 = 1300 Гц,

F_З1сопр. = 995² /1300 = 762 Гц,

F_З2 - F_З1сопр.= 1300 - 762 = 538 Гц.

Вторая пара частот выбирается для дальнейших расчетов, т.к. она обеспечивает минимальную ширину ПЗ.

Из рис.2.1а видно, что при 2,69 рад затухание не менее 50 ¶Б обеспечивает фильтр шестого порядка. В дальнейшем нормированный ФНЧ должен быть приведен к требуемому ПФ.

2.5. Нормирование АЧХ режекторного фильтра

Пример 5. Требуется РФ, АЧХ которого удовлетворяет следующим требованиям: нижняя и верхняя частоты среза равны 900 и 1100 Гц соответственно, а гарантированное затухание 50 ¶Б обеспечивается на граничных частотах 970 и 1030 Гц.

Решение. Связь АЧХ ФВЧ и РФ представлена на рис.2.4г. Параметры АЧХ ФВЧ должны быть таковы, чтобы при одинаковом затухании ширина ПЗ РФ равнялась граничной частоте ФВЧ. Например, в РФ ширине полосы 15 и 10 Гц соответствует такое же затухание, как и в ФВЧ на частотах 15 и 10 Гц (рис.2.4г).

Методика расчета РФ состоит в следующем:

1. С помощью (1.1) или (1.2) определяем F₀;

2. Аналогично примеру 4 определяем пары геометрически сопряженных частот и выбираем для расчетов ту из них, которая дает наибольшую разность, а не наименьшую, как в случае ПФ;

3. Находим крутизну

(2.4)

4. Используя рис.2.1а, определяем порядок фильтра;

5. Схема нормированного ФНЧ должна быть преобразована в ФВЧ и затем сведена к соответствующему РФ.

Для рассматриваемого случая в соответствии с (1.1):

Определим для каждой из граничных частот ПЗ геометрически сопряженные частоты:

- первая пара

F_З1 = 970 Гц,

F_З2сопр.= 995² /970 = 1021 Гц,

F_З2сопр. - F_З1 = 1021 - 970 = 51 Гц.

- вторая пара

F_З2 = 1030 Гц,

F_З1сопр. = 995² /1030 = 961 Гц,

F_З2 - F_З1сопр.= 1030 - 961 = 69 Гц.

Для дальнейших расчетов принимаем вторую пару частот.

Из рис.2.1а видно, что затухание не менее 50 ¶Б при 2,9 рад обеспечивает схема фильтра 5-го порядка.

3. ТИПОВЫЕ СЕМЕЙСТВА АЧХ ФИЛЬТРОВ

АЧХ идеального нормированного ФНЧ представлена на рис.3.1а. Он пропускает без затухания все компоненты от постоянной составляющей до 1 рад, а вне полосы обеспечивает бесконечное затухание.

Аппроксимация идеального ФНЧ фильтром Баттерворта показана на рис.3.1б. Как видно из рис.3.1б, данная аппроксимация оказывается наиболее удачной на удалении от нормированной частоты среза 1 рад, а в окрестности этой точки она получается достаточно грубой.

а б

в г

Рис. 3.1. АЧХ различных фильтров:

а) идеальный ФНЧ,

б) фильтр Баттерворта,

в) фильтр Чебышева,

г) сравнение АЧХ различных фильтров одного порядка

Более точно воспроизводит АЧХ идеального ФНЧ кривая Чебышева (рис.3.1в). В области частоты среза АЧХ фильтра Чебышева является почти прямоугольной, а ее спуск к полосе задержания более крутой. Однако это новое качество достигается за счет определенных потерь неравномерности АЧХ в полосе пропускания.

Особенностью фильтров Баттерворта и Чебышева является то, что спектральные составляющие входного сигнала при прохождении через них испытывают различную временную задержку, что является причиной искажений сигнала внутри ПП. Однако известны фильтры, свободные от этого недостатка - фильтры Бесселя, которые однако обеспечивают более медленное затухание, по сравнению с другими фильтрами. Следует помнить, что у таких фильтров при преобразовании ФНЧ в ФВЧ, ПФ или РФ постоянство времени задержки внутри полосы пропускания не сохраняется.

Другую группу представляют эллиптические фильтры, АЧХ которых характеризуется наличием пульсаций в полосе задержания. Спуск АЧХ эллиптических фильтров к ПЗ самый крутой, см. рис.3.1г (1- идеальный ФНЧ, 2- ФНЧ Баттерворта, 3 - ФНЧ Чебышева, 4 - эллиптический ФНЧ). Семейства нормированных кривых затухания ¡ фильтров Баттерворта, Чебышева и Бесселя представлены на рис.3.2 (кривые затухания ¡ = F(w) аппроксимированы прямыми линиями с погрешностью не более 5%).

4. Табличный метод расчета пассивных LC-фильтров.

4.1. Масштабирование по частоте и импедансу

При расчетах фильтров часто используется одно важное с практической точки зрения их свойство: если значения параметров всех реактивных элементов фильтра поделить на некоторый частотный масштабный множитель K_f, то АЧХ нового фильтра будет аналогична АЧХ первичного фильтра, но окажется сдвинутой в другой частотный диапазон. При осуществлении масштабного сдвига АЧХ в качестве K_f выбирается отношение двух частот, соответствующих в АЧХ нового F _нов. и старого F_ст. фильтров одинаковому уровню затухания:

(4.1)

Чтобы определить вид АЧХ сдвинутого в другой частотный диапазон фильтра, достаточно просто умножить все единицы измерения на шкале частот на множитель K_f. Пример этой операции дан на рис.4.1 (K_f=10). Деление значений всех реактивных элементов на 10 сдвигает во столько же раз АЧХ фильтра в сторону более высоких частот.

Величины сопротивлений источника сигнала (генератора) и нагрузки для искомого фильтра имеют очень малую величину - 1 Ом. На практике значения этих сопротивлений могут существенно отличаться от 1 Ом. В то же время желательно уменьшить емкость конденсатора. В противном случае практическая реализация фильтра (рис.4.1б) будет затруднительна - необходима емкость 141000 мкФ.

а б

в г

Рис. 3.2. Затухание для некоторых фильтров:

а) фильтр Баттерворта,

б) фильтр Чебышева с уровнем пульсаций 0,1 дБ,

в) фильтр Чебышева с уровнем пульсаций 0,5 дБ,

г) фильтр Бесселя

а б

Рис. 4.1. Масштабирование по частоте ФНЧ:

а) нормированный ФНЧ,

б) масштабированный по частоте

а n - четное n - нечетное

б n - четное n - нечетное

Рис. 4.2. Схемы - ФНЧ Баттерворта, Чебышева и Бесселя:

а) первый вариант,

б) второй вариант

Выход из данного затруднения осуществляется с помощью операции, называемой масштабирование импеданса. Дело в том, что если полное сопротивление схемы фильтра увеличить в Z раз, то его АЧХ останется прежней. Для этого сопротивления резисторов и индуктивности катушек умножаются на Z, а емкости конденсаторов с целью обеспечения столь же кратного увеличения их импеданса делятся на Z.

При расчете фильтров масштабирование по частоте и импедансу производится одновременно:

(4.2)

где R_M, L_M, C_M - элементы схемы фильтра после его масштабирования по частоте и импедансу.

Использование (4.2) позволяет, применяя таблицы с заранее известными значениями элементов схем нормированных фильтров, легко рассчитывать как пассивные, так и активные фильтры. Задача сводится лишь к вычислению соответствующих масштабных множителей Z и K_f, обеспечивающих «перенос» АЧХ в подходящий диапазон по частоте и импедансу.

4.2. Типовые схемы фильтров и параметры их элементов

Любой из ФНЧ (Баттерворта, Чебышева или Бесселя) может быть реализован одним из двух вариантов схем, представленных на рис.4.2. Значения элементов этих схем для фильтров разного порядка даны в табл.4.1, 4.2, 4.3 и 4.4. В верхних колонках каждой из этих таблиц указаны два параметра: в «числителе» для первого варианта схемы, в «знаменателе» - для второго.

4.3. Расчет ФНЧ

Пример 6. Требуется ФНЧ, АЧХ которого удовлетворяет следующим требованиям: частота среза полосы пропускания - 3000 Гц; на граничной частоте 9000 Гц нужно обеспечить затухание не менее 25 ¶Б. Фильтр должен включаться между источником с сопротивлением 600 Ом и нагрузкой с таким же сопротивлением.

Решение. Синтез искомого фильтра должен включать в себя следующие этапы:

1. Нормирование исходных данных для расчета ФНЧ - вычисление крутизны A_S его АЧХ (см. раздел 2);

2. Выбор типа АЧХ и порядка фильтра;

3. Расчет частотного множителя K_f и величины Z;

4. Масштабирование по частоте и импедансу параметров нормированного ФНЧ;

5. Получение подходящих параметров схемы.

Для требуемого фильтра A_S = F_З / F_С = 9000 / 3000 = 3.

Таблица 4.1

Дата добавления: 2015-07-02