Момент инерции тела

Момент инерции тела вращения: телом вращения называют всякое тело, поверхность которого образована вращением некоторой плоской кривой вокруг оси; эта кривая называется образующей. Эта кривая f(h) (рис.113а) лежит в одной плоскости с осью 00' и опирающаяся концами на ось, вращается вокруг этой оси и образует тем самым поверхность какого-то однородного тела. Считаем, что зависимость f(h) и плотность r тела известны.

Разобьем тело на бесконечно тонкие диски высотой dh. Рассмотрим один из таких дисков радиусом f и высотой dh.

Возьмем тонкий цилиндрический слой радиуса х и толщиной dx и посчитаем его момент инерции (рис.113б)

dy = dmx² = r x² dV = r x² 2p x dx dh = 2p r dh x³ dx

Если весь диск разбить на такие концентрические кольца, то момент инерции всего такого диска будет равен

.

Теперь, чтобы найти момент инерции всего тела, надо просуммировать моменты инерции всех дисков. Тогда

.

1.Пример. Момент инерции однородного цилиндра относительно геометрической оси вычислить, используя общую формулу. Радиус цилиндра R₁, масса М.

Рис.114

в данном случае f = R = const

.

2. Вопрос. Найти момент инерции конуса высотой h с радиусом основания R относительно геометрической оси.

Теорема Гюйгенса-Штейнера: Если момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс равен I₀, то момент инерции тела относительно любой параллельной ей оси, находящейся от нее на расстоянии d равен I = I₀ + md², где m - масса тела.

3. Пример. Пустотелый цилиндр с тонкими стенками имеет массу М и радиус R. Определить его моменты инерции относительно осей 00 и 00'. (рис.115).

I₀₀ = MR² I₀₀ = MR² + MR² = 2MR².

Рис.115

4.Вопрос. Цилиндр с внутренним радиусом R₁ и внешним R₂ имеет массу М. Определить его моменты инерции относительно осей 00 и 00', расположенной на расстоянии R₂

Рис.116

Дата добавления: 2015-07-02