Тригонометрический ряд и ряд Фурье

Системы ортогональных функций

Ряды Фурье

Система функций , ,..., непрерывных и не равных нулю на отрезке : ,

называется ортогональной, если выполняется

. (1)

Следующие ортогональные системы функций, имеют важное прикладное значение.

I1 1, , , , ,..., , на отрезке .

I2 , ,..., на отрезке .

I3 , ,..., на отрезке .

I4 1, , , , ,..., , на отрезке .

I5 , ,..., на отрезке .

I6 , ,..., на отрезке .

I7 Система многочленов Лежандра (применяется при разложении гравитационных потенциалов небесных тел):

,

,

,...

Система ортогональных функций, для которых условие (1) выполняется в форме

и (1’)

. (2)

называется ортонормированной.

I Докажем, например, что система функций , , ,..., , на отрезке - ортонормированная.

Проверим, сначала условие (2)

.

.

.

Проверим условие (1’)

.

.

.

.

.

.

Функциональный ряд вида

(3)

называется тригонометрическим рядом. Система функций 1,..., , на отрезке - ортогональная. Члены этого ряда – периодические функции с периодом , поэтому частичные суммы ряда

(4)

тоже периодические функции с периодом .

Поэтому, если тригонометрический ряд сходится в интервале к периодической функции, то он сходится на любом промежутке .

Ряд (3) сходится равномерно, если сходится числовой знакоположительный ряд

. (5)

Пусть ряд (3) сходится равномерно на отрезке к функции .

Для определения коэффициентов тригонометрического ряда для разложения конкретной функции применим теорему об интегрируемости равномерно сходящегося функционального ряда

.

. (6)

Умножим записанный ряд на , при этом равномерная сходимость ряда не нарушится.

и проинтегрируем

В силу ортогональности системы функций все слагаемые в правой части равны нулю, кроме слагаемого для которого . Поэтому имеем:

. (7)

Умножим записанный ряд на , при этом равномерная сходимость ряда не нарушится.

и проинтегрируем

В силу ортогональности системы функций все слагаемые в правой части равны нулю, кроме слагаемого для которого . Поэтому имеем:

. (8)

Если функция разлагается в равномерно сходящийся на отрезке ряд (3) с коэффициентами, вычисляемыми по формулам (6 – 8), то этот ряд называется рядом Фурье.

Из этого определения следует, что необходимым условием разложимости функции в ряд Фурье является ее интегрируемость на отрезке .

Дата добавления: 2015-07-02