Комплексная форма рядов Фурье

Теорема 1.

Разложение в ряд Фурье функций, заданных на произвольном отрезке

Пусть функция удовлетворяет условиям теоремы Дирихле на отрезке длиной , тогда на этом отрезке она разлагается в тригонометрический ряд Фурье по формуле (3), при этом коэффициенты разложения вычисляются по формулам

, (9)

, (10)

. (11)

□

Введем функцию (12)

переводящую отрезок в отрезок .

При , .

При , .

Теперь введем , где .

Функция удовлетворяет условиям теоремы Дирихле (т.к. - линейная), поэтому она разлагается в тригонометрический ряд Фурье по формулам (3), (6-8):

,

, , .

Подставим (12) в эти формулы

- получили формулу (9).

- получили (10).

- получили (11).

Утверждение теоремы доказано.

■

Пусть разлагается в ряд Фурье на отрезке по формуле (3) с коэффициентами (6 – 9).

Получим комплексную форму рядов Фурье, основанную на формуле Эйлера

. (13)

Подставим (13) в формулу (3)

, обозначим , тогда

(14)

с коэффициентами:

,

,

.

Объединяя эти формулы, получим

, для всех . (15)

Выражение (15) – комплексная форма ряда Фурье.

Дата добавления: 2015-07-02