Системи числення. Кодування десяткових чисел. Основні коди

Системою числення називається метод представлення кількісної інформації за допомогою символів деякого алфавіту, які називають цифрами.

Системи числення підрозділяються на непозиційні і позиційні. У цифровій техніці вся інформація незалежно від її характеру представляється в числовій формі, причому використовуються тільки позиційні системи числення. У позиційній системі числення кожна цифра має визначене числове значення (чи усі), причому це числове значення кожної цифри залежить від положення цифри в числі. Такі системи числення називаються також зваженими.

У загальному випадку в позиційній системі числення будь-яке ціле число N можна виразити в наступній формі

(1.1)

Символ В позначає основу цілої системи і дорівнює числу знаків у даній системі. Наприклад, у десятковій системі числення В = 10.

Символ і позначає номер розряду даного числа, причому перший розряд позначається 1, другий 2 і т.д.

Символ а, є знаками чи цифрами даної системи числення, що стоять у відповідному розряді кожного числа.

Звична десяткова система (В = 10) використовує цифри 0, 1,2,..., 9. наприклад:

В обчислювальній техніці переважне значення одержала двійков система числення, для якої досить двох цифр 0 і 1. Двійковий розряд
являє собою найменшу кількість інформації яку називають бітом. Послідовність двійкових цифр

служить записом війкового числа. Серед інших систем числення найчастіше використовуються восьмирічна і шістнадцяткова. У восьмирічній системі цифри зображуються тими ж символами, що й у десятковій, а шістнадцятковій в системі до них додається ще шість символів А, В, С, D, Е, Р, що відповідають десятковим числам 10, 11, 12, 13, 14, 15.

Використовуючи вираження(1.1), запишемо:

N=253₍₈₎=2·8²+5·8¹+3·8⁰=171₍₁₀₎,

N=2F4₍₁₆₎=2·16²+F·16¹+4·16⁰=756₍₁₀₎.

Видно, що для перетворення числа з будь-якої системи числення в десяткову досить обчислити значення відповідного багаточлена, підставивши в нього десяткові значення розрядів і основи системи числення.

Для вводу цілого числа N6, представленого в системі числення з основою В, у систему числення з основою G необхідно дане число поділити на основу G (за правилами в системі числення з основою B) до одержання цілого залишку меншого значення G. Отриману частку необхідно розділити на основу Gдо одержання цілого залишку, меншого значення G і так доти G, доки остання частка буде менша значення G. Число N у системі числення з основою G представляється у виді упорядкованої послідовності залишків від ділення в порядку, зворотному їхньому одержанню. Причому старшу цифру числа NGдасть остання частка.

ПРИКЛАД

Необхідно перевести десяткове число 89 у двійкову систему числення.

Число 89 ділимо послідовно на 2:

Напрямок запису числа  

Десятковому числу N=(89)(10) відповідає число N=(10111001)(2)

Достоїнством восьмирічної і шестнадцятковій систем числення є

по-перше, можливість більш компактно представити запис двійкового числа. Запис такого самого двійкового числа у восьмирічній і шіснадцятковій системах буде відповідно в 3 і 4 рази коротше двійкової. По-друге, порівняно просто здійснюється перетворення чисел із двійкової у восьмирічну і у шіснадцяткову систему і навпаки. Для восьмирічного числа кожен розряд представляється групою з трьох двійкових розділів (тріад), а для шіснадцяткового – групою з чотирьох двійкових розділів (тетрад)

Для такого перетворення досить об'єднати двійкові цифри в групи по 3 і 4 біти відповідно, просуваючи від розділової коми вліво і вправо. При цьому в разі потреби додають нулі на початку числа і кожну таку групу –тріаду чи тетраду заміняють еквівалентною восьмирічною чи шісдадцятковою цифрою.

ПРИКЛАД.

При використанні цифрових систем неперервні сигнали представляються в дискретній формі. При цьому безупинні сигнали квантують за рівнем і за часом. При квантуванні за рівнем сукупність можливих значень функції заміняється кінцевим набором дискретних значень із заданого/інтервалу. Квантування за часом передбачає заміну неперервного сигналу послідовністю імпульсів що з’являються через визначені проміжки часу, названих тактовими.

При одночасному введенні квантування за часом і за рівнем амплітуда кожної вибірки буде приймати найближче дозволене значення з обраного кінцевого набору значень. Сукупність усіх вибірок утворить дискретний чи цифровий сигнал. Кожне значення дискретного сигналу можна представити числом. У цифровій техніці такий процес називається кодуванням, а сукупність отриманих чисел - кодом сигналу (мал. 1.1).

Рис.1.1. Квантування за рівнем, часом (формування цифрового сигналу) і кодування сигналу Х

Найбільш розповсюджені двійкові коди приведені в табл. 1.1.

Таблиця 1.1.

Десяткове число	Форма представлення
Прямий код	Зворотній код	Додатковий код	Циклічний код Грея
X3 X2 X1 X0	X3 X2 X1 X0	X3 X2 X1 X0	X3 X2 X1 X0
	0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1	1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0	0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1	0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0

Зворотний і додатковий коди в цифрових системах використовуються для представлення чисел зі знаком. При цьому позитивні числа представляються в прямому війковому коді. Зворотний код від’ємного числа утвориться шляхом заміни нуля у всіх розрядах вхідного двійкового числа на одиницю і навпаки Додатковий код від’ємного числа виходить зі зворотного додаванням одиниці до молодшого розряду зворотного коду числа. Особливість циклічного коду Грея в тім, що при переході до кожного наступного числа в коді змінюється значення тільки одного двійкового розряду. Код Грея використовується в в техніці аналого-цифрового перетворенні і обчислювальних пристроях. Він дозволяє істотно скоротити час перетворення, спростити логіку, що кодує, а також підвищити ефективність захисту від небажаних збоїв, при переходах вихідного коду. Правило вводу числа з двійкового коду в код Грея І зводиться до наступного:

перша одиниця з боку старших розрядів залишається без змін, наступні цифри (0 і І) залишаються без зміни, якщо число одиниць, їм передуючих, парне і інвертуються, якщо число одиниць непарне.

Представляючи кожну десяткову цифру сукупністю з чотирьох розрядів (тетрад), можна одержати комбіновану систему числення, що має достоїнства двоичной системи і зручністю десяткової. У цьому випадку одержуємо двоїчно-десяткові коди. Наприклад, число 37₍₁₀₎= 100101₍₂₎ можна представити як 37₍₁₀₎ = 00110111_(2/10). Хоча для цього буде потрібно більше число двійкових розрядів, простота даного перетворення цілком компенсує такий недолік. Числа від нуля до дев'яти можна закодувати двійковим кодом багатьма способами, тому число можливих двійково-десяткових кодів досить велике. Найбільше часто застосовувані коди приведені в табл. 1.2.

Таблиця 1.2

Десяткова цифра			Коди
I	II	III	IV	V
			8421+3	—

Код І (табл. 1.2) називається кодом із природними вагами, тут цифри 8, 4, 2, 1 - ваги двійкових розрядів тетрад. Будь-яка десяткова цифра в цьому коді зображується її еквівалентом у двійковій системі числення.

Код II має розрив у шістьох кодових комбінаціях між числами 7 і 8, що змінює вагу першого розряду. Цей код називають кодом Емери.

Код 3 (код Айкена) має розрив між числами 4 і 5. У цьому місці проходить вісь симетрії з запереченням. Кожна кодова комбінація над віссю відрізняється від симетричної комбінації під віссю заперечень значень всіх аргументів відповідних розрядів. Ця властивість, яку називають самодоповненням, корисна при реалізації арифметичних операцій. Цю властивість має також наступний код 4, утворений зсувом натурального коду на число три і тому названий кодом з надлишком 3".

Код V (код Грея) характеризується тим, що при переході від одного числа до наступного змінюється завжди тільки один. Представлені в табл. 1.2 коди мають різну побудову. Коди I, II, III відносяться до позиційних. Кожному розряду кодів цієї групи відповідає визначена вага, а число, що виражається

кодом, виходить підсумовуванням ваг тих розрядів кодових комбінацій, у яких знаходиться одиниця. У кодах II й III ваги розрядів підібрані спеціальним чином. Код V - символічний. У ньому співвідношення між десятковою цифрою, а також біля нулів і одиниць умовне і визначені С значення кодової комбінації не підкоряється однозначним правилам обчислення через ваги окремих розрядів.

Дата добавления: 2015-06-27