Аксіоми й основні закони булевої алгебри

Проектування логічних схем здійснюється за допомогою спеціального математичного апарати Цей апарат запропонований у середині минулого століття ірландським математиком Дж. Булем і називається алгеброю Буля чи булевой алгеброю. Алгебра будується на базі трьох основних логічних операцій і відношенні еквівалентності (табл. 1.2):

АБО- диз'юнкція, логічне додавання;

І- кон’юнкція, логічне множення;

НІ - інверсія, логічне заперечення.

Таблиця 1.3.

Змінні	Диз’юнкція	Кон’юнкція	Інверсія
X1	Х2	X1 v Х2	X1 Х2	Х1	Х2

Таблиця 1.3 називається таблицею істинності для АБО операції І-НІ. У цій таблиці представлені аксіоми операцій диз'юнкції, кон’юнкції й інверсії.

З зіставлення таблиць істинності АБО і І. виявляється наступна закономірність. операції І можна поміняти місцями, якщо 1 поміняти, на 0, а 0 поміняти на 1 і знаки диз'юнкції,на знаки кон’юнкції, те АБО рядок перетворюється в рядок І навпаки (табл. 1.4).

Таблиця 1.4

АБО	І
0V0=0	1*1=1
0V1=1	1*0=0
1V0=1	0*1=0
1V1=1	0*0=0

Якщо X у Х₂ = У, то ХІ*Х₂ = V; якщо; ХІ*Х₂ = У; то X, _у Х₂ =У. Ця властивість є відображенням принципу подвійності в булевой алгебрі.

З відношення еквівалентності випливає принцип суперпозиції (підстановки): якщо ХІ = Х₂, то в будь-якій формулі, що містить ХІ, замість ХІ можна підставити Х₂, і в результаті буде отримана еквівалентна формула.

Закони булевої алгебри випливають з,аксіом і також мають дві форми вираження: для кон’юнкції і диз'юнкції. Їх правильність легко перевірити по таблицях істинності або шляхом підстановки 0 і 1 замість відповідних значень змінних.

Аксіоми для однієї змінної і константи охоплюють усі випадки операцій над змінною X і константами 0 і 1:

Основні закони булевої алгебри, що дозволяють робити різні тотожні перетворення формул булевої алгебри:

1) перестановчий (комутативний) закон

2) сполучний (асоціативний) закон

3) розподільний (дистрибутивний) закон

4) закон поглинання

Х₁, v Х₁ Х₂ = X₁ (X₁ поглинає X₁ Х₂);

X₁ (X₁ V X₂) = X₁ (X₁ поглинає X₁ v Х₂);

5) закон склеювання

Х₁Х₂ V X₁X₂ =X₂ (склеювання по Х₁)

(Х₁ VX₂)(Х₁ v Х₂) = Х₂, (склеювання по Х1)

6) закон іденпотентності

7) закон де Моргана (закон інверсії)

Для декількох змінних

Дата добавления: 2015-06-27