Основные понятия и определения. В этом разделе изложены некоторые аспекты теории формальных языков, существенные с точки зрения трансляции

Введение.

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ФОРМАЛЬНЫХ ЯЗЫКОВ И ГРАММАТИК

В этом разделе изложены некоторые аспекты теории формальных языков, существенные с точки зрения трансляции. Здесь введены базовые понятия и даны определения, связанные с одним из основных механизмов определения языков - грамматиками, приведена наиболее распространенная классификация грамматик (по Хомскому). Особое внимание уделяется контекстно-свободным грамматикам и, в частности, их важному подклассу - регулярным грамматикам. Грамматики этих классов широко используются при трансляции языков программирования. Здесь не приводятся доказательства сформулированных фактов, свойств, теорем, доказательства правильности алгоритмов; их можно найти в книгах, указанных в списке литературы.

Определение: алфавит - это конечное множество символов.

Предполагается, что термин "символ" имеет достаточно ясный интуитивный смысл и не нуждается в дальнейшем уточнении.

Определение: цепочкой символов в алфавите V называется любая конечная последовательность символов этого алфавита.

Определение: цепочка, которая не содержит ни одного символа, называется пустой цепочкой. Для ее обозначения будем использовать символ e.

Более формально цепочка символов в алфавите V определяется следующим образом:

(1) e - цепочка в алфавите V;

(2) если a - цепочка в алфавите V и a - символ этого алфавита, то aa - цепочка в алфавите V;

(3) b - цепочка в алфавите V тогда и только тогда, когда она является таковой в силу (1) и (2).

Определение: если a и b - цепочки, то цепочка ab называется конкатенацией ( или сцеплением) цепочек a и b.

Например, если a = ab и b = cd, то ab = abcd.

Для любой цепочки a всегда ae = ea = a.

Определение: обращением ( или реверсом) цепочки a называется цепочка, символы которой записаны в обратном порядке.

Обращение цепочки a будем обозначать a^R.

Например, если a = abcdef, то a^R = fedcba.

Для пустой цепочки: e = e^R.

Определение: n-ой степенью цепочки a (будем обозначать aⁿ) называется конкатенация n цепочек a.

a⁰ = e; aⁿ = aa^n-1 = a^n-1a.

Определение: длина цепочки - это число составляющих ее символов.

Например, если a = abcdefg, то длина a равна 7.

Длину цепочки a будем обозначать | a |. Длина e равна 0.

Определение: язык в алфавите V - это подмножество цепочек конечной длины в этом алфавите.

Определение: обозначим через V^* множество, содержащее все цепочки в алфавите V, включая пустую цепочку e.

Например, если V={0,1}, то V^* = {e, 0, 1, 00, 11, 01, 10, 000, 001, 011,...}.

Определение: обозначим через V⁺ множество, содержащее все цепочки в алфавите V, исключая пустую цепочку e.

Следовательно, V^* = V⁺ È {e}.

Ясно, что каждый язык в алфавите V является подмножеством множества V^*.

Известно несколько различных способов описания языков [3]. Один из них использует порождающие грамматики. Именно этот способ описания языков чаще всего будет использоваться нами в дальнейшем.

Определение: декартовым произведением A ´ B множеств A и B называется множество {(a,b) | a Î A, b Î B}.

Определение: порождающая грамматика G - это четверка (VT, VN, P, S), где

VT - алфавит терминальных символов (терминалов),

VN - алфавит нетерминальных символов (нетерминалов), не пересекающийся с VT,

P - конечное подмножество множества (VT È VN)⁺ ´ (VT È VN)^*; элемент (a, b) множества P называется правилом вывода и записывается в виде a ® b,

S - начальный символ (цель) грамматики, S Î VN.

Для записи правил вывода с одинаковыми левыми частями

a ® b₁ a ® b₂... a ® b_n

будем пользоваться сокращенной записью

a ® b₁ | b₂ |...| b_n.

Каждое b_i , i= 1, 2,...,n, будем называть альтернативой правила вывода из цепочки a.

Пример грамматики:

G1 = ({0,1}, {A,S}, P, S),

где P состоит из правил

S ® 0A1

0A ® 00A1

A ® e

Определение: цепочка b Î (VT È VN)^* непосредственно выводима из цепочки a Î (VT È VN)⁺ в грамматике G = (VT, VN, P, S) (обозначим a ® b), если a = x₁gx₂, b = x₁dx₂, где x₁, x₂, d Î (VT È VN)^*, g Î (VT È VN)⁺ и правило вывода g ® d содержится в P.

Например, цепочка 00A11 непосредственно выводима из 0A1 в грамматике G1.

Определение: цепочка b Î (VT È VN)^* выводима из цепочки
a Î (VT È VN)⁺ в грамматике G = (VT, VN, P, S) (обозначим a Þ b), если существуют цепочки g₀, g₁,..., g_n (n³0), такие, что a = g₀ ® g₁ ®... ® g_n= b.

Определение: последовательность g₀, g₁,..., g_n называется выводом длины n.

Например, S Þ 000A111 в грамматике G1 (см. пример выше), т.к. существует вывод S ® 0A1 ® 00A11 ® 000A111. Длина вывода равна 3.

Определение: языком, порождаемым грамматикой G = (VT, VN, P, S), называется множество L(G)={a Î VT^* | S Þ a}.

Другими словами, L(G) - это все цепочки в алфавите VT, которые выводимы из S с помощью P.

Например, L(G1) = {0ⁿ1ⁿ | n>0}.

Определение: цепочка a Î (VT È VN)^*, для которой S Þ a, называется сентенциальной формой в грамматике G = (VT, VN, P, S).

Таким образом, язык, порождаемый грамматикой, можно определить как множество терминальных сентенциальных форм.

Определение: грамматики G1 и G2 называются эквивалентными, если L(G1) = L(G2).

Например, G1 = ({0,1}, {A,S}, P1, S) и G2 = ({0,1}, {S}, P2, S), где

P1: S ® 0A1 P2: S ® 0S1 | 01

0A ® 00A1

A ® e

эквивалентны, т.к. обе порождают язык

L(G1) = L(G2) = {0ⁿ1ⁿ | n>0}.

Определение: грамматики G1 и G2 почти эквивалентны, если
L(G1) È {e} = L(G2) È {e}.

Другими словами, грамматики почти эквивалентны, если языки, ими порождаемые, отличаются не более, чем на e.

Например, G1 = ({0,1}, {A,S}, P1, S) и G2 = ({0,1}, {S}, P2, S), где

P1: S ® 0A1 P2: S ® 0S1 | e

0A ® 00A1

A ® e

почти эквивалентны, т.к. L(G1)={0ⁿ1ⁿ | n>0}, а L(G2)={0ⁿ1ⁿ | n³0}, т.е. L(G2) состоит из всех цепочек языка L(G1) и пустой цепочки, которая в L(G1) не входит.

Классификация грамматик и языков по Хомскому

(грамматики классифицируются по виду их правил вывода)

ТИП 0:

Грамматика G = (VT, VN, P, S) называется грамматикой типа 0, если на правила вывода не накладывается никаких ограничений (кроме тех, которые указаны в определении грамматики).

ТИП 1:

Грамматика G = (VT, VN, P, S) называется неукорачивающей грамматикой, если каждое правило из P имеет вид a ® b, где a Î (VT È VN)⁺, b Î (VT È VN)⁺ и | a | Ì | b |.

Грамматика G = (VT, VN, P, S) называется контекстно-зависимой (КЗ), если каждое правило из P имеет вид a ® b, где a = x₁Ax₂; b = x₁gx₂; A Î VN; g Î (VT È VN)⁺; x₁,x₂ Î (VT È VN)^*.

Грамматику типа 1 можно определить как неукорачивающую либо как контекстно-зависимую.

Выбор определения не влияет на множество языков, порождаемых грамматиками этого класса, поскольку доказано, что множество языков, порождаемых неукорачивающими грамматиками, совпадает с множеством языков, порождаемых КЗ-грамматиками.

ТИП 2:

Грамматика G = (VT, VN, P, S) называется контекстно-свободной (КС), если каждое правило из Р имеет вид A ® b, где A Î VN, b Î (VT È VN)⁺.

Грамматика G = (VT, VN, P, S) называется укорачивающей контекстно-свободной (УКС), если каждое правило из Р имеет вид A ® b, где A Î VN, b Î (VT È VN)^*.

Грамматику типа 2 можно определить как контекстно-свободную либо как укорачивающую контекстно-свободную.

Возможность выбора обусловлена тем, что для каждой УКС-грамматики существует почти эквивалентная КС-грамматика.

ТИП 3:

Грамматика G = (VT, VN, P, S) называется праволинейной, если каждое правило из Р имеет вид A ® tB либо A ® t, где A Î VN, B Î VN, t Î VT.

Грамматика G = (VT, VN, P, S) называется леволинейной, если каждое правило из Р имеет вид A ® Bt либо A ® t, где A Î VN, B Î VN, t Î VT.

Грамматику типа 3 (регулярную, Р-грамматику) можно определить как праволинейную либо как леволинейную.

Выбор определения не влияет на множество языков, порождаемых грамматиками этого класса, поскольку доказано, что множество языков, порождаемых праволинейными грамматиками, совпадает с множеством языков, порождаемых леволинейными грамматиками.

Соотношения между типами грамматик:

(1) любая регулярная грамматика является КС-грамматикой;

(2) любая регулярная грамматика является УКС-грамматикой;

(3) любая КС-грамматика является КЗ-грамматикой;

(4) любая КС-грамматика является неукорачивающей грамматикой;

(5) любая КЗ-грамматика является грамматикой типа 0.

(6) любая неукорачивающая грамматика является грамматикой типа 0.

Замечание: УКС-грамматика, содержащая правила вида A ® e, не является КЗ-грамматикой и не является неукорачивающей грамматикой.

Определение: язык L(G) является языком типа k, если его можно описать грамматикой типа k.

Соотношения между типами языков:

(1) каждый регулярный язык является КС-языком, но существуют КС-языки, которые не являются регулярными (например, L = {aⁿbⁿ | n>0}).

(2) каждый КС-язык является КЗ-языком, но существуют КЗ-языки, которые не являются КС-языками (например, L = {aⁿbⁿcⁿ | n>0}).

(3) каждый КЗ-язык является языком типа 0.

Замечание: УКС-язык, содержащий пустую цепочку, не является КЗ-языком.

Замечание: следует подчеркнуть, что если язык задан грамматикой типа k, то это не значит, что не существует грамматики типа k’ (k’>k), описывающей тот же язык. Поэтому, когда говорят о языке типа k, обычно имеют в виду максимально возможный номер k.

Например, КЗ-грамматика G1 = ({0,1}, {A,S}, P1, S) и

КС-грамматика G2 = ({0,1}, {S}, P2, S), где

P1: S ® 0A1 P2: S ® 0S1 | 01

0A ® 00A1

A ® e

описывают один и тот же язык L = L(G1) = L(G2) = { 0ⁿ1ⁿ | n>0}. Язык L называют КС-языком, т.к. существует КС-грамматика, его описывающая. Но он не является регулярным языком,т.к. не существует регулярной грамматики, описывающей этот язык [3].

Дата добавления: 2015-06-27