Постановка задачи и математическая модель

И быстро вращающиеся диски

Осесимметричные задачи. Толстостенные трубы

Примером точного решения является задача Ламе – задача о длинной

«трубе», нагруженной равномерным наружным и внутренним давлением. Задача с некоторым приближением применима для относительно тонким дискам (с учетом центробежных сил от вращения с постоянной угловой скоростью Ω).

Решение существенно упрощается ввиду осевой симметрии, так как все искомые функции зависят только от одной координаты – радиуса.

Введём цилиндрические координаты z, r, j. Для удобства совместим

ось Х с осью r. Очевидно, что вследствие симметрии в цилиндрических и радиальных сечениях касательные напряжения отсутствуют.

Выделим элементарный объем двумя радиальными и двумя цилиндрическими сечениями (рис.1) и рассмотрим его равновесие и деформации.

Нормальные напряжения на гранях выделенного объема – главные.

Обозначим главные напряжения s_r и s_t в соответствии с направлением по радиусу и по касательной, перемещение по радиусу – u.

Условие равновесия выделенного элементы

после преобразований приводит к уравнению равновесия

Рис.1

. (1)

Деформации связаны с перемещением следующими соотношениями:

(.2)

и, после преобразования,

. (3)

Замыкают систему разрешающих уравнений физические уравнения –

закон Гука:

, (4)

, (5)

Математическая модель задачи становится полной, если дополнить ее граничными условиями.

Дата добавления: 2015-06-27