Пример. Свойства сходящихся рядов

Свойства сходящихся рядов

Рассмотрим два сходящихся ряда:

, (1.17)

. (1.18)

1. Ряд, полученный почленным сложением (вычитанием) двух сходящихся рядов, также сходится, а его сумма равна алгебраической сумме исходных рядов, т.е.

. (1.19)

Доказательство. Составим частичные суммы рядов (1.17) и (1.18):

.

Т.к. по условию данные ряды сходятся, существуют пределы этих частичных сумм:

, .

Составим частичную сумму ряда (1.19) и найдём её предел:

;

, ч.т.д.

;

.

Замечание. Обратное утверждение неверно, т.е. из сходимости ряда, стоящего в левой части равенства (1.19), не следует сходимость рядов и . Например, ряд, рассмотренный в примере 4, сходится, и его сумма равна 1; общий член этого ряда был преобразован к виду:

.

Следовательно, ряд можно записать в виде:

.

Рассмотрим теперь отдельно ряды:

Эти ряды расходятся, так как являются гармоническими рядами. Таким образом, из сходимости алгебраической суммы рядов не следует сходимость слагаемых.

2. Если все члены сходящегося ряда с суммой S умножить на одно и то же число с, то полученный ряд также будет сходиться и иметь сумму cS:

. (1.20)

Доказательство аналогично первому свойству (доказать самостоятельно).

Пример. с= 10000;

Дата добавления: 2015-06-27