Первый признак сравнения

.

Оба ряда сходятся, т.к. их суммы конечны.

Таким образом, сходящиеся ряды можно почленно складывать, вычитать и умножать на постоянный множитель.

3. Теорема об отбрасывании нескольких первых членов ряда.

Отбрасывание (или добавление) нескольких первых членов ряда не влияет на сходимость или расходимость этого ряда. Иными словами, если сходится ряд

, (1.21)

то сходится и ряд

. (1.22)

(но сумма может быть другой). И наоборот, если сходится ряд (1.22), то сходится и ряд (1.21).

Замечание 1. В математике термин «несколько» означает «конечное число», т.е. это может быть и 2, и 100, и 10¹⁰⁰, и больше.

Замечание 2. Из данного свойства следует, что ряды с общими членами и эквивалентны в смысле сходимости. Например, гармонический ряд имеет общий член , и ряды с общими членами и - также гармонические.

4. Остаток ряда. Его свойство. Если у ряда отбросить первые k членов, то получится новый ряд, называемый остатком ряда после k- го члена.

Определение. k -м остатком ряда

называется ряд

(1.23),

полученный отбрасыванием первых k членов исходного ряда.

Индекс k означает, сколько первых членов ряда отброшено. Таким образом,

и т.д.

Рис.1.5.2

Можно построить последовательность остатков и исследовать её на сходимость при , в отличие от предыдущей теоремы, где к бесконечности стремилось п. В каждом последующем члене этой последовательности «меньше» слагаемых (на самом деле в каждом остатке их бесконечное число). Можно также сказать, что здесь имеет место динамика в начале ряда, а не в его конце.

Остаток ряда можно определить также как разность между суммой ряда и его частичной суммой (рис.1.5.1):

. (1.24)

Рис.1.5.2

Найдём предел последовательности для сходящегося ряда с суммой S при . Из определения суммы ряда следует:

.

Тогда из (1.24) следует:

. (1.25)

Получили, что остаток сходящегося ряда есть величина бесконечно малая при , т.е. когда число отбрасываемых членов ряда стремится к бесконечности. Это видно и из рисунков 1.5.1 и 1.5.2.

Замечание. Теорему об отбрасывании нескольких членов ряда можно сформулировать следующим образом: для того, чтобы ряд сходился, необходимо и достаточно, чтобы его остаток стремился к нулю.

§ 1.6. Знакоположительные ряды

Рассмотрим ряд с неотрицательными членами

, (1.26)

Такие ряды будем называть знакоположительными. Рассмотрим последовательность частичных сумм знакоположительного ряда (1.26). Поведение этой последовательности особенно простое: она монотонно возрастает при возрастании n, т.е. . (т.к. к каждой последующей частичной сумме прибавляется неотрицательное число).

Согласно теореме Вейерштрасса любая монотонная ограниченная последовательность сходится (см. I семестр I курса). Исходя из этого, сформулируем общий критерий сходимости рядов с положительными членами.

Теорема (общий критерий сходимости знакоположительных рядов). Для того, чтобы знакоположительный ряд сходился, необходимо и достаточно, чтобы последовательность его частичных сумм была ограничена.

Напомним определение ограниченности последовательности: последовательность называется ограниченной, если существует М >0 такое, что для (рис.1.6.1). Для знакоположительных рядов , и можно говорить об ограниченности сверху, т.к. снизу ограничена нулём.

Доказательство. 1) Необходимость. Пусть ряд (1.26) сходится Þ последовательность частичных сумм имеет предел, т.е. сходится. По теореме об ограниченности сходящейся последовательности любая сходящаяся последовательность ограничена Þ ограничена.

2) Достаточность. Пусть последовательность частичных сумм ряда (1.26) ограничена.

Т.к. , т.е. монотонна. По теореме Вейерштрасса о монотонных ограниченных последовательностях она сходится Þ сходится ряд (1.26).

Ясно, что при неограниченном возрастании последовательности частичных сумм ряд расходится.

Общий критерий сходимости знакоположительных рядов позволяет установить достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами. Этими признаками являются:

1) признаки сравнения рядов;

2) признак Даламбера;

3) признаки Коши.

Теорема о первом признаке сравнения.

Пусть даны два ряда с неотрицательными членами:

(1.27)

(1.28)

причем, начиная с некоторого номера n³N,выполняется неравенство

. (1.29)

Тогда:

1) из сходимости ряда (1.28) следует сходимость ряда (1.27);

2) из расходимости ряда (1.27) следует расходимость ряда (1.28).

Другими словами, если сходится больший ряд, то сходится и меньший, если расходится меньший ряд, то больший расходится и подавно (рис.1.7.1).

Доказательство. 1) Пусть и - частичные суммы рядов (1.27) и (1.28), соответственно. Т.к. , из соотношения (1.29) следует, что (сумма меньших чисел меньше суммы больших чисел). Если ряд сходится, то последовательность его частичных сумм ограничена (сверху), но тогда ограничена и последовательность частичных сумм ряда как ряда с меньшими членами; Þ согласно общему критерию сходимости ряд сходится.

2) Пусть теперь ряд расходится. Предположим, что при этом ряд сходится. Но тогда по только что доказанному меньший ряд также должен сходиться. Противоречие. Следовательно, ряд расходится.

Признак сравнения применяется для исследования сходимости знакоположительных рядов, если известна сходимость какого-либо другого ряда, годного для сравнения с заданным рядом. Чаще всего сравнивают с геометрической прогрессией (сходится при и расходится при ) и с обобщённым гармоническим рядом , который сходится при a>1 и расходится при a£1 (доказательство будет приведено позже).

Пример 1.

Сравним данный ряд с бесконечной геометрической прогрессией:

которая сходится.

Так как начиная с n =3 Þ , то данный ряд сходится.

Пример 2.

Сравним данный ряд с расходящимся гармоническим рядом .

Так как начиная с п =2 Þ , то данный ряд расходится.

Замечание. Данный ряд является обобщенным гармоническим рядом, .

Дата добавления: 2015-06-27