Доказательство

Гильбертовым пространством называется полное евклидово пространство, то есть полное относительно метрики пространство со скалярным произведением.

Скалярное произведение определено.

Нужно доказать полноту пространства.

Пусть —ортогональная система, тогда если всякий элемент пространства можно с любой наперед заданной точностью приблизить линейными комбинациями элементов системы в метрике пространства, то система полна.

Пространство является евклидовым пространством, следовательно, оно является метрическим пространством. Любое евклидово пространство является метрическим пространством.

Метрическое пространство является полным пространством, когда любая фундаментальная последовательность сходится к элементу пространства в метрике пространства.

-фундаментальная последовательность в пространстве.

Если последовательность функции фундаментальна в пространстве , то она фундаментальна на каждом компакте из области D. Если последовательность аналитических функций на каждом компакте равномерно сходится, то предельная функция является аналитической функцией.

Радиус настолько мал, что замкнутый круг лежит в области D.

Из формулы Коши следует, что верно неравенство:

Здесь используется неравенство Гельдера.

Отсюда следует, что верна формула:

Данная оценка верна для любой точки из области D.

Данная формула позволяет сделать переход от полярных координат к декартовым координатам.

Последовательность функций фундаментальна на каждом компакте K.

Последовательность функций равномерно сходится на каждом компакте K области D.

—аналитические функции,

—аналитическая функция.

Предел равномерно сходящейся последовательности аналитических функций является аналитической функцией.

Здесь используется неравенство Минковского.

Дата добавления: 2015-06-27