Доказательство. Утверждение.Функции при и образуют ортонормирован

Доказательство.

Теорема доказана.

Утверждение. Функции при и образуют ортонормированный базис в пространстве , где D – открытый единичный круг. Если и — ряд Тейлора для функции , то для .

.

Функции образуют ортонормированный базис в пространстве .

Все аналитические функции в некоторой области раскладываются в ряд Тейлора в окрестности любой точки из данной области.

Коэффициенты ряда Тейлора функции определяются через скалярные произведения функции и базисных элементов.

Утверждение доказано.

Теорема. Пространство , где D – единичный круг, квадратично интегрируемых аналитических функций в области D, является гильбертовым пространством.

Скалярное произведение определено.

Нужно доказать полноту пространства.

Пусть —ортогональная система, тогда если всякий элемент пространства можно с любой наперед заданной точностью приблизить линейными комбинациями элементов системы в метрике пространства, то система полна.

Пространство является евклидовым пространством, следовательно, оно является метрическим пространством. Любое евклидово пространство является метрическим пространством.

Радиус настолько мал, что замкнутый круг лежит в области D.

Из формулы Коши следует, что верно неравенство:

Последовательность функций фундаментальна на каждом компакте K.

Последовательность функций равномерно сходится на каждом компакте K области D.

—аналитические функции,

—аналитическая функция.

Предел равномерно сходящейся последовательности аналитических функций является аналитической функцией.

Дата добавления: 2015-06-27