Решение. В случае a)прямая проходит через точки (0;1) и (1;0), а фигурирующее в системе ограничений неравенство определяет полуплоскость

В случае a) прямая проходит через точки (0;1) и (1;0), а фигурирующее в системе ограничений неравенство определяет полуплоскость, лежащую выше этой прямой (). Прямая проходит через начало координат и точку (1;2), соответствующая полуплоскость лежит ниже этой прямой. Условие задает полуплоскость, лежащую выше оси OX, а ограничение - полуплоскость, лежащую правее оси OY. Найденная (непустая!) область допустимых решений (пересечение найденных полуплоскостей) изображена на рисунке 2.1.

Строим вектор нормали Прямая (1) на рис. 2.1 соответствует линии уровня . Перемещаем ее до положения опорной прямой (2). Это первая опорная прямая, перемещение происходит по нормали, значит, далее значения функции будут расти, и поэтому в точке B целевая функция достигает минимума. Вершина B лежит на пересечении прямых и , поэтому ее координаты: xB=1/3, yB=2/3. Итак, Следует заметить, что второй опорной прямой нет, линии уровня уходят в бесконечность и максимального значения целевая функция не достигает,

Переходим к задаче б). Ее система ограничений отличается добавленным неравенством . Результат построений изображен на рисунке 2.2 (с.11), пересечение всех полуплоскостей образует замкнутую область, четырехугольник ABDC. Здесь (1) – линия уровня , – вектор нормали, (2) и (3) – опорные прямые, полученные при перемещении линии уровня по направлению нормали. Поэтому максимум достигается в точке C, минимум – в точке B. Координаты точки B известны: B(1/3;2/3). Точка C – пересечение прямых , , т.е. C(3;0). Поэтому ,

. Замечание. В случае замкнутой ограниченной области (как в рассмотренном примере) максимум (минимум) достигается в одной из вершин, поэтому можно найти координаты всех вершин и сравнить значения функции в них. В нашей ситуации A(1;0), D(3;6), , , и несложно убедиться в справедливости вывода, сделанного выше.

Дата добавления: 2015-06-27