Геометрические методы в теории сигналов

Сигнал представляется точкой в пространстве сигналов. Сигнал образует бесконечномерное пространство.

Непрерывное пространство (вещественные числа), т. е. пространство непрерывных аналоговых сигналов – пр-во Гилберта. Дискретное пространство (целые числа), т. е. пространство цифровых сигналов – пространство Хэмминга.

Связь пространств – функция, связь пр-ва и функции – функционал, связь функций – оператор.

Расстояние между сигналами в пр-ве Хэмминга – это количество совпадающих битов двух цифровых сигналов, а в пр-ве Гилберта она вычисляется по т.Пифагора.

Пространство: вещественное или комплексное. Оно линейное (если два сигнала линейные, то и их сумма принадлежит линейному пр-ву).

В линейном пр-ве можно выделить координатный базис:

.

Любой сигнал может быть разложен по этому базису: .

Длина вектора в этом пространстве – норма (положительное число) => пространство нормированное.

Норма: - вещественного числа:

- комплексного числа:

Энергия сигнала – квадрат его нормы:

Метрическое пространство – линейное пр-во, если каждой паре элементов этого пр-ва сопоставлено некоторое неотрицательно число (метрика), т.е. расстояние между элементами. Расстояние определяется формулой:

Сигналы являются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю.

Если все вышеперечисленные условия (бесконечномерное, линейное, метрическое с ортонормированным базисом пр-во) выполняются, то пространство является Гилбертовым.

Виды базисов:

1) Гармонические (синус, косинус)

2) Ряд Фурье

3) Функции Уолша и т.д

Пример: Найти такое А, чтобы минимизировать расстояние между сигналами.

Решение:

Так как в первом слагаемом отсутствует А, то его можно не рассматривать.

Чтобы расстояние было минимальным, необходимо найти минимум этой функции:

Лекция №2

Если есть система ортогональных функций в пр-ве Гилберта, то её можно разложить по базису.

Базис:

Дата добавления: 2015-06-27