Преобразование Фурье

Дельта функция Дирака

δ-функция определяется так:

δ(х)=0, если х≠0
δ(х)→∞, если х=0

Отсюда следует единственное полезное свойство δ-функции – стробирующее(фильтрующее) свойство:

Если знать мгновенное значение сигнала в какой-то момент времени, то можно вырезать «кусок» функции, где дельта функция определена.

Интеграл несобственный, является функционалом, то есть ставится в соответствие число к функции.

δ-функция – это производная единичного скачка (ф-ция Хевисайда):

Докажем ещё один вариант определения δ-функции:

Замена:

Ещё одно соотношение:

Периодических сигналов в природе очень мало. В общем случае они непериодические. Но для их представления в пространстве частот нужны преобразования Фурье.

Спектр непериодического сигнала

Сделаем из непериодической функции периодическую, для этого аналитически продолжим функцию. Это метод аналитического продолжения: размножение функции в обе стороны на бесконечном интервале.

Теперь у нас периодическая функция → раскладываем в ряд Фурье → преобразование Фурье (за спектр при бесконечном разложении принимается спектр одной части (в пределе)).

Скачок – нарушение условий Дирихле. Спектр получить можно, но обратным преобразованием сигнал получить не сможем, возникнут искажения. Скачок (из-за разрыва на концах отрезка) дает паразитные явления → явления Гиббса.

Метод борьбы – использование «оконных функций». Чтобы убрать искажения надо умножить функцию на «окно». «Окно» сглаживает место стыковки.

, где – функция окна.

Используют различную форму окон – прямоугольное, треугольное и т.д. Требования, предъявляемые к функции окна – должны быть производные равны нулю.

- прямое преобразование Фурье

- обратное преобразование Фурье

Если спектр симметричен, то сигнал действительный. Если спектр несимметричен, то сигнал мнимый.

Пример: Найти спектр одиночного импульса.

Cвойства Фурье:

- спектр комплексный

- ∆f* τ = const

- можно восстановить ф-цию времени по комплексному сигналу, но чтобы восстановленная ф-ция была действительной, её спектр должен быть симметричным.

Свертка двух функций во временной области: скалярное произведение функций, одна из которых сдвинута по времени.

Свертка двух функций в частотной области:

Если умножать две функции во временной области, то в частотной области их спектры свёртываются, и наоборот.

Корреляция двух функций: кросскорреляционная и автокорреляционная функции

Функция корреляции ищет сигнал, похожий на первоначальный. Она определяет максимальное статическое совпадение двух функций.

Свойство сдвига одной функции, относительно другой: Когда они наложены, то корреляция максимальна. Если находятся на расстоянии, то минимальна.

Лекция №3

Дата добавления: 2015-06-27