Расстояние от точки до плоскости

Угол между двумя плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей

Пусть заданы две плоскости Q₁ и Q₂:

A₁x + B₁y + C₁z + D₁ = 0,

А₂х + В₂у + C₂z + D₂ = 0.

Под углом между плоскостями Q₁ и Q₂ понимается один из двугран­ных углов, образованных этими плоскостями.

Угол φ между нормальными векторами = (A₁;B₁;C) и = (А₂;В₂; С₂) плоскостей Q₁ и Q₂ равен одному из этих углов (см. рис. 72). Поэтому или

Для нахождения острого угла следует взять модуль правой части.

Рис. 72. Рис. 73.

Если плоскости Q₁ и Q₂ перпендикулярны (см. рис. 73, а), то тако­вы же их нормали, т. е. (и наоборот). Но тогда · = 0, т. е. А₁А₂ + В₁В₂ + С₁С₂ = 0. Полученное равенство есть условие перпендику­лярности двух плоскостей Q ₁ и Q₂.

Если плоскости Q₁ и Q₂ параллельны (см. рис. 73, б), то будут па­раллельны и их нормали и (и наоборот). Но тогда, как известно, координаты векторов пропорциональны: Это и есть условие параллельности двух плоскостей Q₁ и Q₂.

Пусть задана точка М₀(х₀;у₀; z₀) и плоскость Q своим уравнением Ах + By + Cz + D = 0. Расстояние d от точки М₀ до плоскости Q находится по формуле

Вывод этой формулы такой же, как вывод формулы расстояния от точки М₀(х₀;у₀) до прямой Ах + By + С = 0 (см. с. 61).

Расстояние d от точки М₀ до плоскости Q равно модулю проекции вектора , где M₁(x₁;y₁;z₁) — произвольная точка плоскости Q,.на направление нормального вектора = (А; В; С) (см. рис. 74 ). Следовательно,

Рис. 74!

А так как точка M₁(x₁;y₁;z₁) принадлежит плоскости Q, то Ax₁+By₁+Cz_l+D = 0, т.е. D = -Ax₁ – Ву₁ – Сz₁. Поэтому . Отметим, что если плоскость Q задана уравнением x cos α + у cos β + z cos γ -р = 0, то расстояние от точки М₀(х₀;у₀; z₀) до плоскости Q может быть найдено по формуле

d = | x ₀ cos α +; y ₀ cos β + z ₀ cos γ - р|.

Уравнения прямой в пространстве

Дата добавления: 2015-06-28