Нормальное уравнение плоскости

Положение плоскости Q вполне определяется заданием единичного вектора , имеющего направление перпендикуляра ОК, опущенного на плоскость из начала координат, и длиной р этого перпендикуляра (см. рис. 71).

Рис. 71.

Пусть ОК = р, а α, β, γ — углы, обра­зованные единичным вектором с осями Ох, Оу и Oz. Тогда = (cos α; cosβ;cosγ). Возьмем на плоскости произвольную точ­ку М(х; у; z) и соединим ее с началом коор­динат. Образуем вектор = = (х; у; z). При любом положении точки М на плоскости Q проекция радиус-вектора на направление вектора всегда равно р: пр = р, т. е. • = р или

· - р = 0 (12.8)

Уравнение (12.8) называется нормальным уравнением плоскости в векторной форме. Зная координаты векторов и , уравнение (12.8) перепишем в виде

х cos а + у cos β + z cos γ - р = 0. (12.9)

Уравнение (12.9) называется нормальным, уравнением плоскости в координатной форме.

Отметим, что общее уравнение плоскости (12.4) можно привести к нор­мальному уравнению (12.9) так, как это делалось для уравнения прямой на плоскости. А именно: умножить обе части уравнения (12.4) на нормирующий множитель , где знак берется противоположным знаку свободного члена D общего уравнения плоскости.

12.3. Плоскость. Основные задачи

Дата добавления: 2015-06-28